Vogliamo ora in primo luogo definire che cosa vuol dire che una funzione reale di variabile reale, al tendere della variabile x ad un numero reale a, ha come limite un numero reale l .

 

DEFINIZIONE 1

Si dice che l Î R è il limite della funzione y = f(x) per x che tende ad a Î R e si scrive

se "ε>0 esiste un numero δ>0 tale che:

"x  ( | x-a |<d  e  x¹a ) Þ | f(x)-l | <e

Equivalentemente,

 

Si dice che l Î R è il limite della funzione y = f(x) per x che tende ad a Î R e si scrive

se per ogni J_l, di centro l, esiste un intorno I_a di centro a tale che:

 

Naturalmente osserviamo che questa definizione non permette,operativamente,di determinare il limite di una funzione,ma piuttosto di dimostrare che un valore congetturato è effettivamente il limite della funzione.