Esempio

Consideriamo la funzione

con dominio R₀ = R \ {0}.

Risulta

.

e diremo che il limite destro della f, per x tendente a zero, è 1, mentre il limite sinistro,

per x tendente a zero, è –3.

Dimostrare quanto detto.

Risoluzione

Verificare il primo limite significa dimostrare che la disequazione

è verificata in un intorno destro di zero, escluso il punto x = 0.

Infatti quest’ultima , considerando x > 0, si può scrivere:

quindi è verificata per ogni xÎ ] 0 ; e [, intervallo che costituisce un intorno destro di zero,

escluso il punto x = 0.

Verificare il secondo limite significa analogamente dimostrare che la disequazione

è soddisfatta in un intorno sinistro di zero, escluso il punto x = 0.

La precedente disequazione, considerando x < 0, si può scrivere:

quindi è verificata per ogni x Î ] -e ; 0 [, intervallo che costituisce un intorno sinistro di zero,

escluso il punto x = 0.