Dimostrazione
Consideriamo, in una circonferenza
qualsiasi di centro O, un arco MN di lunghezza x,
che supponiamo misurato in radianti,
compreso tra 0 e 
/2.(****)
Consideriamo l’arco doppio MN e i
segmenti MT e NT,
sulle due tangenti condotte
rispettivamente per M e N.
Valgono le seguenti disuguaglianze
(riferite alle lunghezze):
corda MN <
arco MN < MT + TN
Rapportando
tutte le misure al raggio OM, si ha:
Si ha allora:
(osservando che
MT/OM č, nel triangolo rettangolo OMT,
il rapporto tra
i cateti).
Da questa
relazione si ottiene:
da cui,
dividendo tutti i termini per sin x (positivo):
Quindi:
Per x
tendente a 0, cos x tende a 1; anche la costante 1 tende a 1.
Per il teorema
del confronto anche
tende a 1.