Dimostrazione

 

La dimostrazione si basa sulla definizione stessa di limite.

Comunque si prenda un intorno di l, Jl, esistono:

 

·          g 

·         

Sia Ia il più piccolo dei due intorni  e  : 

Per x in Ia e diverso da a risultano verificate entrambe le precedenti relazioni;

quindi sia f(x) sia g(x) appartengono a Jl .

 

Poiché nell’intorno Ka , dove sono definite, le tre funzioni

verificano le disuguaglianze :

 

 

per ogni x appartenente a Ka intersecato ad Ia (anch’esso intorno di a ),

escluso a stesso, si ha h(x) appartenente a Jl .

Quindi