Osservazione 1   Se $G$ è un gruppo topologico e $H$ è un suo sottogruppo normale, $G/\mathcal{H}$ è l'insieme $G/H$.

Proposizione 2   Sia $G$ un gruppo topologico e sia $H$ un suo sottogruppo normale.
Lo spazio omogeneo $G/H$ con la topologia quoziente è un gruppo topologico.

Dimostrazione
Sappiamo che $G/H$ è uno spazio topologico, e che è un gruppo (proposizione 3 della sezione "Gruppo quoziente").
Proviamo che l'applicazione

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}\mu:& G/H\times G/H&\longrightarrow&G/H\\ & ([x],[y])&\longmapsto&[x][y]^{-1}\end{array}\end{displaymath}

è continua.
Sia $A$ un aperto di $G/H$ e sia

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}\varphi:&G\times G&\longrightarrow&G\\ &(x,y)&\longmapsto&xy^{-1}.\end{array}\end{displaymath}

Mostriamo che $\mu^{-1}(A)$ è intorno di ogni suo punto.
Consideriamo il seguente diagramma commutativo:

\begin{displaymath}\begin{CD}G\times G @ >\varphi>> G\\ @ V \pi\times\pi VV @VV\pi V\\ G/H\times G/H @>>\mu>G/H \end{CD}\end{displaymath}

dove $\pi$ è la proiezione di $G$ in $G/H$.
Sia $([a],[b])\in \mu^{-1}(A)$, cioè $[a][b]^{-1}\in A$; $\pi^{-1}(A)$ è un aperto di $G$ e $ab^{-1}\in \pi^{-1}(A).$ Allora $\exists U,V$ aperti di $G$ tali che $a\in U$, $b\in V$e $UV^{-1}\subset\pi^{-1}(A)$; quindi $\pi(U)$ e $\pi(V)$ sono due aperti di $G/H$ e $\pi(U)\pi^{-1}(V)\subset A$. Da questo segue allora che $([a],[b])\in\pi(U)\times \pi(V)\subset \mu^{-1}(A)$.


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