Esempi 6

1)

$(\mathbb{R} ,+)$ , $(\mathbb{C} ,+)$ sono gruppi topologici: le applicazioni

$\begin{displaymath}\begin{array}{ccc}\mathbb{R}\times \mathbb{R} &\longrightarrow&\mathbb{R}\\ (x,y)&\longmapsto &x-y,\end{array}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\begin{array}{ccc}\mathbb{C}\times \mathbb{C} &\longrightarrow&\mathbb{C}\\ (z,w)&\longmapsto &z-w\end{array}\end{displaymath}$

sono continue.

2)

$(\mathbb{R} ^{*},\cdot)$ , $(\mathbb{C} ^{*},\cdot)$ sono gruppi topologici: le applicazioni

$\begin{displaymath}\begin{array}{ccc}\mathbb{R} ^{*}\times \mathbb{R} ^{*}&\long... ...arrow&\mathbb{R} ^{*} \\ (x,y)&\longmapsto &xy^{-1},\end{array}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\begin{array}{ccc}\mathbb{C} ^{*}\times \mathbb{C} ^{*}&\longrightarrow&\mathbb{C} ^{*}\\ (z,w)&\longmapsto &zw^{-1}\end{array}\end{displaymath}$

sono funzioni continue.

3)

$(\mathbb{R} ^{n},+)$ , $(\mathbb{C} ^{n},+)$ sono gruppi topologici, essendo il prodotto di

copie di $(\mathbb{R} ,+)$ e $(\mathbb{C} ,+)$ rispettivamente.

4)

Ogni gruppo con la topologia discreta è un gruppo topologico.

5)

L'insieme $S^{1}=\{z\in \mathbb{C} \vert\;\vert z\vert=1\}$ è un sottogruppo di $\mathbb{C} ^{*}$ , e quindi con la topologia di sottospazio indotta da $\mathbb{C} ^{*}$ è un gruppo topologico.

6)

Sia $K=\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ . Si consideri l'applicazione biunivoca

$\begin{displaymath}\begin{array}{cccc} f:& M_{n}(K)& \longrightarrow & K^{n^{2}}... ...gmapsto&(a_{11},\ldots,a_{1n},a_{21},\ldots,a_{nn}).\end{array}\end{displaymath}$

$M_{n}(K)$ con la topologia indotta da

è uno spazio topologico e

è un omeomorfismo.
Il gruppo $GL_{n}(K)$ con il prodotto righe per colonne, con la topologia indotta da $M_{n}(K)$ è un gruppo topologico: le applicazioni

$\begin{displaymath}\begin{array}{cccr}GL_{n}(K)\times GL_{n}(K)&\longrightarrow& GL_{n}(K)& \\ (A,B)&\longmapsto&A\cdot B& ,\end{array}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\begin{array}{ccc}GL_{n}(K)&\longrightarrow& GL_{n}(K) \\ A&\longmapsto&A^{-1}\end{array}\end{displaymath}$

sono continue in quanto le $n^{2}$ componenti sono funzioni continue di $2n^{2}$ e $n^{2}$ variabili (reali o complesse) rispettivamente.

7)

I gruppi lineari $SL_{n}(\mathbb{R} )$ ,

, $SL_{n}(\mathbb{C} )$ ,

con la topologia indotta da $M_{n}(K)$ , dove $K=\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$ , sono gruppi topologici, essendo sottogruppi del gruppo topologico $GL_{n}(K)$ .