Definizione 1 Un gruppo topologico è un insieme

dotato di una struttura di gruppo e di una topologia, tali che le due applicazioni

$\begin{displaymath}\begin{array}{ccc} G\times G & \longrightarrow &G \\ (x,y)& \longmapsto &xy,\end{array}\end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\begin{array}{ccc} G&\longrightarrow &G\\ x&\longmapsto &x^{-1}\end{array}\end{displaymath}$

siano continue.
In questo caso si dice che le due strutture, di gruppo e topologica, sono compatibili.

Osservazione 2 Le due applicazioni della definizione 1 sono continue se e solo se è continua l'applicazione

$\begin{displaymath}\begin{array}{ccc} G\times G & \longrightarrow & G\\ (x,y) & \longmapsto & xy^{-1}.\end{array}\end{displaymath}$

Osservazione 3 Sia

un gruppo topologico. Un sottogruppo

, con la topologia di sottospazio, è un gruppo topologico.
Infatti la funzione

$\begin{displaymath}\begin{array}{ccc} H\times H&\longrightarrow& H\\ (x,y)&\longmapsto & xy^{-1}\end{array}\end{displaymath}$

è continua essendo la restrizione di una funzione continua.

Proposizione 4 Se

sono gruppi topologici, il gruppo prodotto $G\times G'$ con la topologia prodotto è un gruppo topologico.

Dimostrazione
L'applicazione

$\begin{displaymath}\begin{array}{ccc}(G\times G')\times(G\times G')&\longrightar... ...)&\longmapsto&(x,x')(y.y')=(xy^{-1},x'y^{\prime -1})\end{array}\end{displaymath}$

è continua essendo ogni componente continua.

Notazione 5 In seguito quando considereremo $\mathbb{R} ^{n}$ e $\mathbb{C} ^{n}$ come spazi topologici, sottointenderemo la topologia euclidea.