Soluzione
Se $\vert G\vert=1$ , l'affermazione è ovvia.
Se $\vert G\vert=2, 3, 5$ , se cioè l'ordine di

è un primo, dal teorema di Lagrange segue che

è ciclico, e dunque abeliano.
Infine se $\vert G\vert=4$ , per ogni $a\in G$ , $\vert a\vert=1$ o

; distinguiamo allora due casi:

se in esiste un elemento di ordine , , cioè è ciclico e quindi abeliano;
se in non ci sono elementi di ordine , $a^{2}=1$ , $\forall a \in G$ , cioè $a=a^{-1}$ , $\forall a \in G$ . Allora $\forall a, b \in G$ si ha:

$\begin{displaymath}a b =a^{-1} b^{-1}=(b a)^{-1}=b a,\end{displaymath}$

cioè è abeliano.