Soluzione
Ricordiamo che se $z=a+ib\in \mathbb{C}$ , $\vert z\vert=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ . Quindi

$\begin{displaymath}S^{1}=\{a+ib\in \mathbb{C} ^{*}\vert\;a^{2}+b^{2}=1\}.\end{displaymath}$

Proviamo che sono verificate le condizioni della definizione di sottogruppo:

$1\in S^{1}$ ;
$\forall (a+ib), (c+id) \in S^{1}$ , il prodotto $(a+ib)\cdot (c+id)=(ac-bd)+i(ad+bc)$ è tale che:

$\begin{eqnarraystar}(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}&=&a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2acbd+a^{2}d... ...&=&c^{2}(a^{2}+b^{2})+d^{2}(b^{2}+a^{2})=\\ &=&c^{2}+d^{2}=1,\end{eqnarraystar}$

cioè $S^{1}$ è chiuso rispetto al prodotto;
$\forall a+ib \in S^{1}$ , $(a+ib)^{-1}=\frac{a}{a^{2}+b^{2}}-i\frac{b}{a^{2}+b^{2}}=a-ib\in S^{1}$ .

Inoltre $S^{1}$ è normale essendo $\mathbb{C} ^{*}$ abeliano e $\forall z,w \in \mathbb{C} ^{*}$ , $z\equiv w\; (modS^{1})$ se e solo se $zw^{-1}\in S^{1}$ , cioè se e solo se $\vert zw^{-1}\vert=\vert z\vert\vert w^{-1}\vert=1$ , che equivale a dire $\vert z\vert=\vert w\vert$ .