Soluzione
Consideriamo l'applicazione

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}
\psi:&\mathbb{C} ^{*}&\longrightarrow&\mathbb{R} ^{+}\\
&z&\longmapsto& \vert z\vert^{2}.\end{array}\end{displaymath}

Verifichiamo che $\psi$ è un omomorfismo:

\begin{displaymath}\psi(zw)=\vert zw\vert^{2}=(\vert z\vert\vert w\vert)^{2}=\vert z\vert^{2}\vert w\vert^{2}=\psi(z)\psi(w)\end{displaymath}

$\forall z,w \in \mathbb{C} ^{*}$.
Inoltre $\psi$ è suriettiva, e $\ker \psi =S^{1}$. Allora per il teorema fondamentale di omomorfismo, $\mathbb{C} ^{*}/S^{1}\simeq \mathbb{R} ^{+}$.







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