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Esercizio 17   Sia

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}
f:&GL_{n}(K)&\longrightarrow&K^{*}\\
&A&\longmapsto&\det A,\end{array}\end{displaymath}

con $K$ campo. Provare che $f$ è un omomorfismo, determinare il nucleo di $f$ e mostrare che $GL_{n}(K)/SL_{n}(K)\simeq K^{*}$.
Soluzione
$\forall A, B\in GL_{n}(K)$, $f(AB)=\det(A B)=\det(A)
\det(B)=f(A)f(B)$, cioè $f$ è un omomorfismo.
Inoltre $\ker
f=\{A\in GL_{n}(K)\vert\,\det(A)=1\}=SL_{n}(K)$ e dunque per il teorema fondamentale di omomorfismo, essendo $f$ suriettiva, $GL_{n}(K)/SL_{n}(K)\simeq K^{*}$.

Esercizio 18   Dato un campo $K$, determinare il sottogruppo $H$ delle matrici di $GL_{2}(K)$, che commutano con tutte le matrici $M\in \mathcal{A}$, dove

\begin{displaymath}\mathcal{A}=\{\left(\begin{array}{cc}
1&0\\ a&1\end{array}\right),\,a\neq 0\}.\end{displaymath}

Si consideri poi, l'applicazione

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}f:&H&\longrightarrow&(K^{*},\cdot)\\
& \...
..._{21}&a_{22}\end{array}\right)&\longmapsto&a_{11}\,.\end{array}\end{displaymath}

Provare che $f$ è un omomorfismo suriettivo, e determinare $\ker
f$.
Infine provare che l'applicazione

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}
g:&\ker f&\longrightarrow&(K,+)\\
&\le...
...
a_{21}&a_{22}\end{array}\right)&\longmapsto&a_{21}\end{array}\end{displaymath}

è un isomorfismo.
Soluzione

\begin{displaymath}H=\{A=\left(\begin{array}{cc} a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}...
..._{2}(K)\vert\,A\cdot M=M\cdot
A,\,\forall M\in \mathcal{A}\}.\end{displaymath}

Calcoliamo $AM$ e $MA$:

\begin{displaymath}A M=\left(\begin{array}{cc} a_{11}&a_{12}\\
a_{21}&a_{22}\e...
...1}+aa_{12}& a_{12}\\
a_{21}+aa_{22}& a_{22}\end{array}\right),\end{displaymath}


\begin{displaymath}MA=\left(\begin{array}{cc}
1&0\\ a&1\end{array}\right)\left(\...
...11}&a_{12}\\
aa_{11}+a_{21}&aa_{12}+a_{22}\end{array}\right).\end{displaymath}

Uguagliando le due matrici trovate, si ottiene il sistema:

\begin{displaymath}\left\{\begin{array}{lcl}
a_{11}+aa_{12}&=&a_{11}\\
a_{12}&=...
...}&=&aa_{11}+a_{21}\\
a_{22}&=&aa_{12}+a_{22}\end{array}\right.\end{displaymath}

equivalente a:

\begin{displaymath}\left\{\begin{array}{lcl}
a_{12}&=&0\\
a_{22}&=&a_{11}\\
a_{12}&=&0\end{array}\right.\end{displaymath}

allora

\begin{displaymath}H=\{\left(\begin{array}{cc}
a_{11}&0\\ a_{21}&a_{11}\end{array}\right)\vert\,a_{11}\neq 0\}.\end{displaymath}

$f$ è un omomorfismo:
$\forall A=\left(\begin{array}{cc}
a_{11}&0\\ a_{21}&a_{11}\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{cc}
b_{11}&0\\ b_{21}&b_{11}\end{array}\right)\in H$,

\begin{eqnarraystar}f(A B)&
=&f(\left(\begin{array}{cc}
a_{11}&0\\ a_{21}&a_{11}...
...&a_{11}b_{11}\end{array}\right))=\\
&=&a_{11}b_{11}=f(A)f(B).\end{eqnarraystar}



Inoltre $f$ è ovviamente suriettiva.
Calcoliamo $\ker
f$:
$\ker f=\{A\in H\vert\,a_{11}=1\}=\{\left(\begin{array}{cc}
1&0\\ a_{21}&1\end{array}\right)\vert\,a_{21}\in K\}.$
Consideriamo ora l'applicazione $g$:
$g$ è un omomorfismo: $\forall A=\left(\begin{array}{cc}
1&0\\ a_{21}&1\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}
1&0\\ b_{21}&1\end{array}\right)\in \ker f$, si ha

\begin{eqnarraystar}g(A B)&=&g(\left(\begin{array}{cc}
1&0\\ a_{21}&1\end{array}...
...}+b_{21}&1\end{array}\right))=\\
&=&a_{21}+b_{21}=g(A)+ g(B).\end{eqnarraystar}



$g$ è suriettivo, ed è iniettivo essendo

\begin{displaymath}\ker g=\{A\in \ker
f\vert\,a_{21}=0\}=\{I_{n}\}.\end{displaymath}

Dunque $g$ è un isomorfismo.


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Alessandra Cellini
2000-02-09