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Esercizio 22   Provare che se $H$ e $K$ sono due sottogruppi normali di un gruppo $G$, anche

\begin{displaymath}HK=\{hk,\; h\in H, k\in K\}\end{displaymath}

è un sottogruppo normale di $G$.

Soluzione
Mostriamo innanzitutto che $HK$ è un sottogruppo di $G$:
$1=1\cdot 1\in HK$; inoltre se $a=h_{1}k_{1}, b=h_{2}k_{2}\in HK$, si ha:

\begin{displaymath}a
b^{-1}=h_{1}k_{1}(h_{2}k_{2})^{-1}=h_{1}k_{1}k_{2}^{-1}h_{2}^{-1}=
h_{1}h_{2}^{-1}h_{2}k_{1}k_{2}^{-1}h_{2}^{-1}=hk,\end{displaymath}

con $h=h_{1}h_{2}^{-1}\in H$, e $k=h_{2}k_{1}k_{2}^{-1}h_{2}^{-1}\in K$, essendo $K$ normale; allora $a b^{-1}\in HK$.
Inoltre $HK$ è normale; infatti $\forall g\in G$, $\forall hk\in HK$, si ha:

\begin{displaymath}ghkg^{-1}=ghg^{-1}gkg^{-1}=h_{1}k_{1}\in HK.\end{displaymath}

Esercizio 23   Provare che l'applicazione

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}
h:&G&\longrightarrow&G\\
&a&\longmapsto &a^{-1}\end{array}\end{displaymath}

è un isomorfismo se e solo se $G$ è un gruppo abeliano.

Soluzione
Qualunque sia il gruppo $G$, $h$ è biunivoca. Si ha $h(a b)=(ab)^{-1}=
b^{-1} a^{-1}$, e $h(a)h(b)=a^{-1}b^{-1},$ quindi $h$ è un omomorfismo se e solo se $b^{-1}a^{-1}=a^{-1}b^{-1}$, $\forall a,b\in G$, che equivale a dire $ab=ba$, $\forall a,b\in G$, cioè $G$ è abeliano.



Alessandra Cellini
2000-02-09