Esercizio 6 
a)
Verificare che

\begin{displaymath}H=\{A\in O(n)\vert\,A
\left(\begin{array}{c}0\\ \vdots\\ 0\\ ...
...)=
\left(\begin{array}{c}0\\ \vdots\\ 0\\ 1\end{array}\right)\}\end{displaymath}

è un sottogruppo di $O(n)$.
b)
Provare che per $n>1$ $H$ non è normale in $O(n)$.
c)
Provare che $H$ è omeomorfo a $O(n-1)$.
d)
Provare che lo spazio omogeneo $O(n)/\mathcal{H}$ (vedi definizione 1 della sezione "Spazi omogenei") è omeomorfo a $S^{n-1}$, la sfera unitaria di $\mathbb{R} ^{n}$.

 

 

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