Esercizio 4
Se

o

,
provare che
come gruppi topologici.
Suggerimento
Considerare l'applicazione continua
provare che è aperta ed applicare il
teorema 6 della sezione "Morfismi di gruppi topologici".
Soluzione
Sia

è un omomorfismo di gruppi
topologici suriettivo. Inoltre è aperta, infatti sia

un aperto di

;
proviamo che

è un aperto di

mostrando che
è intorno di ogni suo punto. Sia

,
allora

tale che

.
Sia

un intorno di

,
dove

è il disco aperto di centro

e raggio

;
allora se

,

;
sia

.
Quindi

,
essendo

aperto, e

,
cioè

.
Si ha dunque
cioè

è aperto.
Dal
teorema 6
della sezione "Morfismi di gruppi topologici", segue allora che

,
essendo

.