Esercizio 17   Sia

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}
f:&GL_{n}(K)&\longrightarrow&K^{*}\\
&A&\longmapsto&\det A,\end{array}\end{displaymath}

con $K$ campo. Provare che $f$ è un omomorfismo, determinare il nucleo di $f$ e mostrare che $GL_{n}(K)/SL_{n}(K)\simeq K^{*}$.

Esercizio 18   Dato un campo $K$, determinare il sottogruppo $H$ delle matrici di $GL_{2}(K)$, che commutano con tutte le matrici $M\in \mathcal{A}$, dove

\begin{displaymath}\mathcal{A}=\{\left(\begin{array}{cc}
1&0\\ a&1\end{array}\right),\,a\neq 0\}.\end{displaymath}

Si consideri poi, l'applicazione

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}f:&H&\longrightarrow&(K^{*},\cdot)\\
& \...
..._{21}&a_{22}\end{array}\right)&\longmapsto&a_{11}\,.\end{array}\end{displaymath}

Provare che $f$ è un omomorfismo suriettivo, e determinare $\ker
f$.
Infine provare che l'applicazione

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}
g:&\ker f&\longrightarrow&(K,+)\\
&\le...
...
a_{21}&a_{22}\end{array}\right)&\longmapsto&a_{21}\end{array}\end{displaymath}

è un isomorfismo.

 

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