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Esercizi

Notazione 1   Nel seguito $\mathbb{R} $ e $\mathbb{C} $ denoteranno i gruppi $(\mathbb{R} ,+)$ e $(\mathbb{C} ,+)$ rispettivamente, mentre $\mathbb{R} ^{*}$ e $\mathbb{C} ^{*}$ denoteranno i gruppi $(\mathbb{R} ^{*},\cdot)$ e $(\mathbb{C} ^{*},\cdot)$ rispettivamente.

Esercizio 2   Verificare che l'insieme

\begin{displaymath}G=\{(a,b)\in \mathbb{R} ^{2}\vert\,a\neq 0\},\end{displaymath}

con il prodotto definito da $(a,b)\cdot (c,d)=(ac,ad+b)$, è un gruppo, il cui elemento neutro è $(1,0)$.

Soluzione
Osserviamo innanzitutto che il prodotto è interno a $G$, poichè $ac\neq 0$, essendo $a\neq 0$ e $c\neq 0$.
Verifichiamo ora che sono soddisfatte le tre condizioni della definizione di gruppo:

Esercizio 3   Verificare che l'insieme delle affinità della retta reale

\begin{displaymath}Aff(\mathbb{R} )=\{f_{a,b}\vert\,f_{a,b}:\mathbb{R}\longright...
...
\mathbb{R} , f_{a,b}(x)=ax+b,\, a,b\in \mathbb{R} , a\neq 0\}\end{displaymath}

è un sottogruppo di $S(\mathbb{R} )$, isomorfo al gruppo $G$ dell' esercizio 2.

Soluzione
Verifichiamo le condizioni della definizione di sottogruppo:

Inoltre l'applicazione

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}\psi:&Aff(\mathbb{R} )&\longrightarrow&G\\ &f_{a,b}&\longmapsto&(a,b).\end{array}\end{displaymath}

è biunivoca ed è un omomorfismo in quanto si ha

\begin{displaymath}\psi(f_{a,b}\circ f_{c,d})=\psi(f_{ac,ad+b})=(ac,ad+b)=(a,b)\cdot
(c,d)=\psi(f_{a,b})\cdot \psi(f_{c,d}),\end{displaymath}

$\forall f_{a,b},f_{c,d}\in
Aff(\mathbb{R} )$, cioè $\psi$ è un isomorfismo di $Aff(\mathbb{R} )$ in $G$.

Esercizio 4   Considerare il gruppo $Aff(\mathbb{R} )$ dell'esercizio 3 e provare che:
a)
l'applicazione

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}\varphi:&Aff(\mathbb{R} )&\longrightarrow&\mathbb{R} ^{*}\\
&f_{a,b}&\longmapsto&a\end{array}\end{displaymath}

è l'omomorfismo tra le affinità della retta reale e $GL_{1}(\mathbb{R} )$ che ad ogni affinità associa la sua parte lineare;
b)
l'insieme delle traslazioni della retta reale, $N=\{f_{1,b}\in Aff(\mathbb{R} )\}$, è un sottogruppo normale di $Aff(\mathbb{R} )$;
c)
$Aff(\mathbb{R} )/N\simeq \mathbb{R} ^{*}$.

Suggerimento
Osservare che $\varphi$ è un omomorfismo suriettivo che ha $N$ come nucleo, ed applicare il teorema fondamentale di omomorfismo di gruppi.

Soluzione

a)
$\varphi(f_{a,b}\circ
f_{c,d})=\varphi(f_{ac,ad+b})=ac=\varphi(f_{a,b})\varphi(f_{c,d})$, $\forall f_{a,b},f_{c,d}\in
Aff(\mathbb{R} )$, cioè $\varphi$ è un omomorfismo.
b)
Si ha:

\begin{displaymath}\ker \varphi=\{f_{a,b}\in
Aff(\mathbb{R} )\vert\,a=1\}=\{f_{1,b}\in Aff(\mathbb{R}\}=N,\end{displaymath}

cioè $N$ è un sottogruppo normale di $Aff(\mathbb{R} )$.
c)
Inoltre, essendo $Im\varphi=\mathbb{R} ^{*}$, per il teorema fondamentale di omomorfismo, $Aff(\mathbb{R} )/N\simeq \mathbb{R} ^{*}$.