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Esercizio 5   Se $X$ è un insieme non vuoto, $(\mathcal{P}(X),\cup)$, cioè l'insieme delle parti di $X$ con l'unione, è un gruppo?

Soluzione
Controlliamo se sono verificate le tre condizioni della definizione di gruppo:

Dunque l'insieme considerato non è un gruppo.

Esercizio 6   Verificare che l'insieme

\begin{displaymath}S^{1}=\{z\in \mathbb{C} ^{*}\vert\;\vert z\vert=1\}\end{displaymath}

è un sottogruppo normale di $\mathbb{C} ^{*}$ e che $\forall z,w \in
\mathbb{C} ^{*}$, $z\equiv w\; (modS^{1})$ se e solo se $\vert z\vert=\vert w\vert$; le classi di equivalenza di $\mathbb{C} ^{*}/S^{1}$ sono dunque circonferenze concentriche.

Soluzione
Ricordiamo che se $z=a+ib\in \mathbb{C} $, $\vert z\vert=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$. Quindi

\begin{displaymath}S^{1}=\{a+ib\in \mathbb{C} ^{*}\vert\;a^{2}+b^{2}=1\}.\end{displaymath}

Proviamo che sono verificate le condizioni della definizione di sottogruppo: Inoltre $S^{1}$ è normale essendo $\mathbb{C} ^{*}$ abeliano e $\forall z,w \in
\mathbb{C} ^{*}$, $z\equiv w\; (modS^{1})$ se e solo se $zw^{-1}\in
S^{1}$, cioè se e solo se $\vert zw^{-1}\vert=\vert z\vert\vert w^{-1}\vert=1$, che equivale a dire $\vert z\vert=\vert w\vert$.



Alessandra Cellini
2000-02-08