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Esercizio 6   Provare che il gruppo $\mathbb{C} ^{*}/S^{1}$ è isomorfo a $(\mathbb{R} ^{+},\cdot)$.

Suggerimento
Dopo aver osservato che $S^{1}$ è un sottogruppo normale di $\mathbb{C} ^{*}$,(esercizio 6), costruire un omomorfismo suriettivo di $(\mathbb{C} ^{*},\cdot)$ su $(\mathbb{R} ^{+},\cdot)$, che abbia $S^{1}$ come nucleo. Applicare poi il teorema fondamentale di omomorfismo di gruppi.

Soluzione
Consideriamo l'applicazione

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}
\psi:&\mathbb{C} ^{*}&\longrightarrow&\mathbb{R} ^{+}\\
&z&\longmapsto& \vert z\vert^{2}.\end{array}\end{displaymath}

Verifichiamo che $\psi$ è un omomorfismo:

\begin{displaymath}\psi(zw)=\vert zw\vert^{2}=(\vert z\vert\vert w\vert)^{2}=\vert z\vert^{2}\vert w\vert^{2}=\psi(z)\psi(w)\end{displaymath}

$\forall z,w \in \mathbb{C} ^{*}$.
Inoltre $\psi$ è suriettiva, e $\ker \psi =S^{1}$. Allora per il teorema fondamentale di omomorfismo, $\mathbb{C} ^{*}/S^{1}\simeq \mathbb{R} ^{+}$.

Esercizio 8   Provare che $\mathbb{R} /\mathbb{Z} $ è isomorfo al gruppo $S^{1}$.
Suggerimento
Scrivere ogni complesso di modulo $1$ nella forma $\exp(2\pi i
\theta)$, con $\theta \in \mathbb{R} $, costruire un omomorfismo suriettivo di $\mathbb{R} $ su $S^{1}$, che abbia $\mathbb{Z} $ come nucleo, e applicare il teorema fondamentale di omomorfismo.

Soluzione
Il gruppo dei numeri complessi di modulo $1$, è l'insieme

\begin{displaymath}S^{1}=\{\exp(2\pi i\theta)\vert \theta\in\mathbb{R}\}.\end{displaymath}

Consideriamo allora l'appicazione

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}
f:&\mathbb{R} &\longrightarrow&S^{1}\\
&\theta&\longmapsto&\exp(2\pi i\theta).\end{array}\end{displaymath}

$f$ è un omomorfismo suriettivo, infatti:

\begin{displaymath}f(\theta + \varphi)=\exp(2\pi i(\theta+\varphi))=\exp(2\pi i\theta)\exp(2\pi
i\varphi)=
f(\theta)f(\varphi),\end{displaymath}

$\forall \theta,\varphi \in \mathbb{R} $. Inoltre il nucleo di $f$ è l'insieme

\begin{displaymath}\ker f=\{\theta\in \mathbb{R} \vert\exp(2\pi i\theta) =1\}=\mathbb{Z} .\end{displaymath}

Per il teorema fondamentale di omomorfismo si ha allora: $\mathbb{R} /\mathbb{Z}\simeq S^{1}$.



Alessandra Cellini
2000-02-09