Soluzione
Sia

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}f:&GL_{n}(K)&\longrightarrow&K^{*}\\ &
A&\longmapsto&\det(A).\end{array}\end{displaymath}

$f$ è un omomorfismo di gruppi topologici suriettivo. Inoltre è aperta, infatti sia $\Omega$ un aperto di $GL_{n}(K)$; proviamo che $f(\Omega)$ è un aperto di $K^{*}$ mostrando che è intorno di ogni suo punto. Sia $a\in f(\Omega)$, allora $\exists A\in
\Omega$ tale che $a=f(A)$. Sia $\Lambda a=D_{\delta}(1)a$ un intorno di $a$, dove $D_{\delta}(1)$ è il disco aperto di centro $1$ e raggio $\delta>0$; allora se $k\in \Lambda a$, $ka^{-1}\in \Lambda$; sia $\lambda^{n}=ka^{-1}$. Quindi $B=\lambda A\in \Omega$, essendo $\Omega$ aperto, e $\det(B)=\lambda^{n}\det{A}=k$, cioè $k\in
f(\Omega)$. Si ha dunque

\begin{displaymath}\Lambda a\subset f(\Omega),\end{displaymath}

cioè $f(\Omega)$ è aperto.
Dal teorema 6 della sezione "Morfismi di gruppi topologici", segue allora che $GL_{n}(K)/SL_{n}(K)\simeq K^{*}$, essendo $\ker f =SL_{n}(K)$.

 

 

 

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