Soluzione
Sia .
Dalla proposizione 8 della sezione
"Gruppi e sottogruppi ciclici", segue che esistono sottogruppi
di
di ordine
e
,
ma non di ordine
.
Inoltre
e
sono gli unici sottogruppi di ordine
e
rispettivamente.
Suggerimento
Utilizzare il teorema di Lagrange e i suoi
corollari.
Soluzione
Se ,
l'affermazione è ovvia.
Se
,
se cioè l'ordine di
è un primo, dal
teorema di Lagrange segue che
è ciclico, e dunque abeliano.
Infine se ,
per ogni
,
o
o
;
distinguiamo
allora due casi:
Suggerimento
Mostrare che i laterali destri e sinistri di
in
coincidono.
Soluzione
Se
e
sono i due laterali destri distinti di
in
,
è
unione disgiunta di
e
.
Ma
è anche unione disgiunta dei due
laterali sinistri distinti (
)
e
.
Allora