Soluzione
Mostriamo innanzitutto che $HK$ è un sottogruppo di $G$:
$1=1\cdot 1\in HK$; inoltre se $a=h_{1}k_{1}, b=h_{2}k_{2}\in HK$, si ha:

\begin{displaymath}a
b^{-1}=h_{1}k_{1}(h_{2}k_{2})^{-1}=h_{1}k_{1}k_{2}^{-1}h_{2}^{-1}=
h_{1}h_{2}^{-1}h_{2}k_{1}k_{2}^{-1}h_{2}^{-1}=hk,\end{displaymath}

con $h=h_{1}h_{2}^{-1}\in H$, e $k=h_{2}k_{1}k_{2}^{-1}h_{2}^{-1}\in K$, essendo $K$ normale; allora $a b^{-1}\in HK$.
Inoltre $HK$ è normale; infatti $\forall g\in G$, $\forall hk\in HK$, si ha:

\begin{displaymath}ghkg^{-1}=ghg^{-1}gkg^{-1}=h_{1}k_{1}\in HK.\end{displaymath}







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