Soluzione

a)
Verifichiamo innanzitutto che $H$ è un sottogruppo di $O(n)$:
  • $I_{n}\in H$;
  • se $A,B\in H$, allora $AB \left(\begin{array}{c}0\\ \vdots\\ 0\\ 1\end{array}\right)=
A\left(\begin{ar...
...1\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}0\\ \vdots\\ 0\\ 1\end{array}\right)$, cioè $AB\in
H$;
  • se $A\in H$, allora $A^{-1}\left(\begin{array}{c}0\\ \vdots\\ 0\\ 1\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}0\\ \vdots\\ 0\\ 1\end{array}\right)$, cioè $A^{-1}\in H$.
Cerchiamo ora una caratterizzazione più esplicita di $H$.
Se $A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$, $A\left(\begin{array}{c}0\\
\vdots\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a_{1n}\\
\vdots\\ a_{n-1 n}\\ a_{nn}\end{array}\right)$, quindi se $A\in H$,

\begin{displaymath}a_{1n}=\ldots =a_{n-1 n}=0\mbox{ e } a_{nn}=1.\end{displaymath}

D'altra parte $A\in
O(n)$ implica in particolare $a_{n1}^{2}+\ldots +a_{nn}^{2}=1$, quindi si ha

\begin{displaymath}a_{n1}=\ldots =a_{n n-1}=0,\end{displaymath}

cioè

\begin{displaymath}A=\left(\begin{array}{cc} \mbox{\Large
A}^\prime&\begin{array}{c}0\\ \vdots \\ 0 \end{array}\\ 0\ldots
0&1\end{array}\right).\end{displaymath}

Poichè

\begin{displaymath}{}^{t}\!A=\left(\begin{array}{cc}{}^{t}\!\mbox{\Large
A}^\pri...
...{c}0\\ \vdots\\ 0 \end{array}\\ 0\ldots
0&1\end{array}\right),\end{displaymath}

e dato che $A{}^{t}\!A=I_{n}$, ne segue $A'{}^{t}\!A'=I_{n-1}$, cioè $A'\in O(n-1)$. Quindi

\begin{displaymath}H=\{A=\left(\begin{array}{cc}\mbox{\Large A}^\prime& \begin{a...
...0 \end{array}\\ 0\ldots 0&1\end{array}\right),\,A'\in O(n-1)\}.\end{displaymath}

b)
Sia $n>1$. Vogliamo provare che $H$ non è normale in $O(n)$, cioè che $\exists A\in H,\, B\in O(n)$ tali che $BAB^{-1}=BA{}^{t}\!B\not\in H$.
Sia ad esempio (se $n=2$, non compare $I_{n-2}$)

\begin{displaymath}A=\left(\begin{array}{cc}\mbox{\Large
I}_{n-2}&\textnormal{\L...
...rge
0}&\begin{array}{cc}-1&0\\ 0&1\end{array}\end{array}\right)\end{displaymath}

e

\begin{displaymath}B=\left(\begin{array}{cc}\mbox{\Large I}_{n-2}&\textnormal{\L...
...rt{2}/2\\
\sqrt{2}/2&-\sqrt{2}/2\end{array}\end{array}\right);\end{displaymath}

si ha:
$BAB^{-1}\left(\begin{array}{c}0\\
\vdots\\ 0\\ 1\end{array}\right)=BAB\left(\begin{array}{c}0\\
\vdots\\ 0\\ 1\end{array}\right)=$
$=\left(\begin{array}{cc}\mbox{\Large {I}}_{n-2}&\textnormal{\Large
0}\\ \textno...
...\textnormal{\Large
0}&\begin{array}{cc}-1&0\\
0&1\end{array}\end{array}\right)$
                 $\left(\begin{array}{cc}\mbox{\Large
I}_{n-2}&\textnormal{\Large0}\\ \textnormal...
...}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}0\\
\vdots\\ 0\\ 1\end{array}\right)=$
$=\left(\begin{array}{cc}\mbox{\Large
I}_{n-2}&\textnormal{\Large0}\\ \textnorma...
...t(\begin{array}{c}0\\
\vdots\\ 0\\ \sqrt{2}/2\\ -\sqrt{2}/2\end{array}\right)=$
$=\left(\begin{array}{cc}\mbox{\Large I}_{n-2}&\textnormal{\Large
0}\\ \textnorm...
...(\begin{array}{c}0\\
\vdots\\ 0\\ -\sqrt{2}/2\\ -\sqrt{2}/2\end{array}\right)=$
$=\left(\begin{array}{r}0\\ \vdots\\ 0\\ -1\\ 0\end{array}\right)\neq
\left(\begin{array}{c}0\\ \vdots\\ 0\\ 1\end{array}\right)$.
c)
L'applicazione

\begin{displaymath}\begin{array}{ccc}
H&\longrightarrow&O(n-1)\\
(a_{ij})_{1\l...
...,j\leq n}&\longmapsto &(a_{ij})_{1\leq i,j\leq
n-1}\end{array}\end{displaymath}

è ben definita ed è un omeomorfismo di $H$ in $O(n-1)$.
d)
Consideriamo allora l'applicazione

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}\varphi:&O(n)/\mathcal{H}&\longrightarrow&...
...egin{array}{c}0\\
\vdots\\ 0\\ 1\end{array}\right).\end{array}\end{displaymath}

Si osservi che $A\left(\begin{array}{c}0\\
\vdots\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}a_{1n}\\
\vdots\\ a_{n-1 n}\\ a_{nn}\end{array}\right)$ è un vettore colonna identificato ad un vettore di $\mathbb{R} ^{n}$ (il suo trasposto).
$-$
$\varphi$ è ben definita:

  • se $[A]=[B]$, si ha $A^{-1}B\in H$, cioè

    \begin{displaymath}A^{-1}B\left(\begin{array}{c}0\\ \vdots\\ 0\\ 1\end{array}\right)=
\left(\begin{array}{c}0\\ \vdots\\ 0\\ 1\end{array}\right)\end{displaymath}

    e quindi moltiplicando entrambi i membri a sinistra per $A$ si ha:

    \begin{displaymath}B\left(\begin{array}{c}0\\
\vdots\\ 0\\ 1\end{array}\right)=
A\left(\begin{array}{c}0\\ \vdots\\ 0\\ 1\end{array}\right),\end{displaymath}

    cioè $\varphi([A])=\varphi([B])$.
  • se $A=(a_{ij})\in O(n)$, $\varphi([A])=(a_{1n},\ldots,a_{nn})\in
S^{n-1}$, essendo $A$ una matrice ortogonale.
$-$
$\varphi$ è iniettiva: sia $\varphi([A])=\varphi([B])$. Se $A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ e $B=(b_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ si ha $a_{in}=b_{in}$, $\forall
i=1,\ldots,n$. Allora, se $C=A^{-1}B={}^{t}\!AB=(c_{ij})$, si ha

\begin{displaymath}c_{in}=\sum_{k=1}^{n}a_{ki}b_{kn}=
\sum_{k=1}^{n}a_{ki}a_{kn}=\delta_{in};\end{displaymath}

in altre parole,

\begin{displaymath}C\left(\begin{array}{c}0\\ \vdots\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ \vdots\\ 0\\ 1\end{array}\right).\end{displaymath}

Inoltre essendo $O(n)$ un gruppo, $C\in O(n)$, e dunque $C\in H$. Ne segue $[A]=[B]$.
$-$
$\varphi$ è suriettiva: sia $(x_{1},\ldots,x_{n})\in
S^{n-1}$. Cerchiamo $A\in
O(n)$ tale che

\begin{displaymath}A\left(\begin{array}{c}0\\
\vdots\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\end{array}\right).\end{displaymath}

Completiamo $\{(x_{1},\ldots,x_{n})\}$ ad una base ortonormale di $\mathbb{R} ^{n}$:

\begin{displaymath}\mathcal{B}=\{(a_{11},\ldots,a_{n1}),\ldots,(a_{1n-1},\ldots,a_{n
n-1}),(x_{1},\ldots,x_{n})\}.\end{displaymath}

Se

\begin{displaymath}A=\left(\begin{array}{cccc}a_{11}&\ldots&a_{1 n-1}&x_{1}\\
\...
...vdots&\vdots\\
a_{n1}&\ldots&a_{n n-1}&x_{n}\end{array}\right)\end{displaymath}

si ha che $A\in
O(n)$, essendo $\mathcal{B}$ ortonormale; e inoltre

\begin{displaymath}A\left(\begin{array}{c}0\\
\vdots\\ 0\\ 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}x_{1}\\ \vdots\\ x_{n}\end{array}\right).\end{displaymath}

$-$
$\varphi$ è continua: consideriamo il seguente diagramma commutativo:

\begin{displaymath}\begin{array}{rcl}O(n)& \stackrel{\psi}{\longrightarrow}&S^{n...
...rrow}&&\stackrel{\varphi}{\nearrow}\\
&O(n)/O(n-1)&\end{array}\end{displaymath}

dove $\pi$ è la proiezione canonica di $O(n)$ sul quoziente $O(n)/\mathcal{H}$ e $\psi$ è l'applicazione ottenuta dalla funzione continua

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}g:&O(n)&\longrightarrow&\mathbb{R} ^{n}\\ ...
...\leq i,j\leq n}&\longmapsto&
(a_{1n},\ldots,a_{nn}),\end{array}\end{displaymath}

restringendo il codominio a $Im
g=S^{n-1}$ (dunque anche $\psi$ è continua).
Sia $\Omega$ un aperto di $S^{n-1}$; $\varphi^{-1}(\Omega)$è aperto in $O(n)/\mathcal{H}$ in quanto $\pi^{-1}(\varphi^{-1}(\Omega))=\psi^{-1}(\Omega)$ è aperto in $O(n)$, essendo $\psi$ continua. Dunque $\varphi$ è continua.
$-$
$\varphi$ è un omeomorfismo: osserviamo che $S^{n-1}$ è $T_{2}$, essendo un sottospazio di $\mathbb{R} ^{n}$ che è $T_{2}$, e $O(n)/\mathcal{H}$ è compatto, in quanto $O(n)$ è compatto (esercizio 5). Allora $\varphi$, essendo continua e biunivoca, è un omeomorfismo.

 

 

 

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