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Esercizio 28   Sia

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}f:&\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} &\longrighta...
...Z}\times\mathbb{Z}\\
&(x,y)&\longmapsto&(3x-4y,0).\end{array}\end{displaymath}

a)
Provare che $f$ è un omomorfismo.
b)
Provare che $Im f=\mathbb{Z}\times \{0\}$.
c)
Determinare $\ker f$.
d)
Esistono in $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} /\ker f
$ elementi di periodo finito diversi dall'elemento neutro?

Suggerimento
Per provare che $Im f=\mathbb{Z}\times \{0\}$, mostrare la doppia inclusione, sfruttando le proprietà del massimo comun divisore; per rispondere all'ultimo quesito, considerare l'isomorfismo di $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} /\ker f
$ con $ \mathbb{Z}\times\{0\}$.

Soluzione

a)
$\forall (x,y),(z,w)\in
\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} $,

\begin{eqnarraystar}f((x,y)+(z,w))&=&f((x+z,y+w))=\\ &=&(3(x+z)-4(y+w),0)=\\
&=&(3x-4y,0)+(3z-4w,0)=\\ &=&f((x,y))+f((z,w)).\end{eqnarraystar}



b)
Si ha

\begin{eqnarraystar}Im f&=&\{(z,w)\in
\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} \vert\,(z,w)=(...
...times\mathbb{Z} \vert\,z=3x-4y,\;
w=0,\; x,y\in \mathbb{Z}\}.\end{eqnarraystar}



Allora $Im f \subseteq \mathbb{Z}\times\{0\}$; d'altra parte essendo $MCD(3,-4)=1$, si ha $1=3s-4t$, con $s,t\in\mathbb{Z} $; quindi ogni intero si può scrivere nella forma $3h-4k$, con $h,k\in \mathbb{Z} $.
Si ha dunque $Im f=\mathbb{Z}\times \{0\}$.
c)
Si ha:

\begin{eqnarraystar}\ker f&=&\{(x,y)\in
\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} \vert\,(3x-4...
...bb{Z} \vert\,x=4h,\;y=3h,\; h\in
\mathbb{Z}\}=\\
&=&<(4,3)>.\end{eqnarraystar}



d)
Per il teorema fondamentale di omomorfismo si ha $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} /\ker f\simeq \mathbb{Z}\times \{0\}$.
Allora, poichè in $ \mathbb{Z}\times\{0\}$ non esistono elementi di periodo finito diversi da $1$, anche in $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} /\ker f
$ non esistono elementi di questo tipo.



Alessandra Cellini
2000-02-09