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Esercizio 11   Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi di $S_{5}$ sono sottogruppi, ed eventualmente determinarne l'ordine:

\begin{eqnarraystar}A&=&\{\sigma \in S_{5}\vert\;\sigma(1)=1, \sigma(5)=5\}\\
B...
...&=&\{\sigma\in S_{5}\vert\;\sigma(1), \sigma(3)\in
\{1,3\}\}.\end{eqnarraystar}



Suggerimento
Per calcolare l'ordine degli eventuali sottogruppi, ``confrontarli'' con $S_{3}$.

Soluzione
$A$ è un sottogruppo di $S_{5}$:

Per calcolare l'ordine di $A$, osserviamo che $A$ è l'insieme di tutte le permutazioni di $S_{5}$ che lasciano fissi due elementi, cioè in $A$ ci sono tante permutazioni quante sono quelle di $S_{3}$:

\begin{displaymath}\vert A\vert=\vert S_{3}\vert=6.\end{displaymath}

$B$ non è un sottogruppo di $S_{5}$:
se $\alpha,\beta \in B$, sono tali che $\alpha(4)=5$ e $\beta(5)=2$, $\beta\circ\alpha(4)=2$, quindi $\beta\circ\alpha\not\in B$.

$C$ è un sottogruppo di $S_{5}$:

In $C$ ci sono tutte e sole le permutazioni di $S_{5}$, che o lasciano fissi due elementi ( $\alpha(1)=1, \alpha(3)=3$), o che scambiano tra di loro due elementi ( $\alpha(1)=3,\alpha(3)=1$); cioè

\begin{displaymath}\vert C\vert=2\cdot \vert S_{3}\vert=12.\end{displaymath}



Alessandra Cellini
2000-02-09