next up previous
Next: About this document ...

Esercizio 16   Provare che il gruppo

\begin{displaymath}H_{1}=\{\left(\begin{array}{cc} a&b\\
-b&a\end{array}\right)\vert\,a,b\in \mathbb{R} , \mbox{ non entrambi nulli}\}\end{displaymath}

è isomorfo a $\mathbb{C} ^{*}$.
Soluzione
Abbiamo già provato nell'esercizio 16 che $H_{1}$ è un gruppo.
Sia

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}
\varphi:&H_{1}&\longrightarrow&\mathbb{C...
...cc} a&b\\
-b&a\end{array}\right) &\longmapsto&a+ib.\end{array}\end{displaymath}

$\varphi$ è un omomorfismo:
$\forall A=\left(\begin{array}{cc} a&b\\
-b&a\end{array}\right) , B=\left(\begin{array}{cc} c&d\\
-d&c\end{array}\right)\in H_{1}$,

\begin{eqnarraystar}\varphi(A
B)&=&\varphi(\left(\begin{array}{cc}
ac-bd& ad+bc\...
...y}\right))=\\ &=&(ac-bd)+i(ad+bc)=\\
&=&\varphi(A)\varphi(B).\end{eqnarraystar}



$\varphi$ è suriettiva, ed è iniettiva essendo

\begin{displaymath}\ker
\varphi=\{A\in H_{1}\vert\,a+ib=1\}=\{A\in H_{1}\vert\,a=1, b=0\}=\{I_{n}\}.\end{displaymath}

Quindi $\varphi$ è un isomorfismo.

Alessandra Cellini
2000-02-09