Esercizio 28
Sia
- a)
- Provare che
è un omomorfismo.
- b)
- Provare che
.
- c)
- Determinare
.
- d)
- Esistono in
elementi di periodo finito diversi dall'elemento neutro?
Suggerimento
Per provare che
,
mostrare la doppia
inclusione, sfruttando le proprietà del massimo comun divisore;
per rispondere all'ultimo quesito, considerare l'isomorfismo di
con
.
Soluzione
- a)
-
,
- b)
- Si ha
Allora
;
d'altra parte essendo
,
si ha
,
con
;
quindi ogni
intero
si può scrivere nella forma
,
con
.
Si ha dunque
.
- c)
- Si ha:
- d)
- Per il teorema fondamentale di omomorfismo si
ha
.
Allora, poichè in
non esistono elementi
di periodo finito diversi da
,
anche in
non esistono elementi di questo
tipo.