Esercizio 5
Considerare il gruppo topologico

e provare che:
- 1)
-
è aperto, non è compatto ed
è sconnesso in
;
- 2)
e
sono compatti;
- 3)
non è connesso.
Soluzione
- 1)
- Sia
Essendo
continua,
è un aperto di
.
Inoltre
è compatto se e solo se
è chiuso e limitato, ma essendo un sottoinsieme aperto di uno spazio
topologico connesso, non può essere anche chiuso, e dunque non è
compatto. Infine
,
con
,
;
poiché
e
sono non vuoti e
aperti (essendo le controimmagini di aperti tramite l'applicazione
ristretta
a
), e
,
e
sconnettono
.
- 2)
- Consideriamo
.
La condizione che definisce le matrici di
,
,
si può
esprimere come
dove
Allora, dalla identificazione di
con
,
segue che
è un
chiuso.
Inoltre in particolare vale
che implica
cioè
si può
identificare ad un sottoinsieme chiuso di
,
contenuto nel
disco chiuso
di centro
e raggio
.
Dunque
è compatto.
Il ragionamento si può ripetere per
.
Infatti una matrice
appartiene ad
se e
solo se
Allora
è chiuso in
che è compatto, essendo intersezione di
con il chiuso
,
quindi è compatto.
- 3)
- Si ha
dove
e
.
e
sono disgiunti, non
vuoti e chiusi. Infatti l'applicazione
è continua essendo restrizione di una funzione
continua e si ha che
e
.
Quindi
e
sconnettono
.