Soluzione
Consideriamo l'applicazione
è ben definita; infatti se
allora
e
.
Proviamo allora che
è un isomorfismo:
è un omomorfismo:
.
è iniettiva:
se
,
allora
e
,
,
quindi
da cui
,
cioè
,
,
quindi
.
è suriettiva:
sia
un elemento di
.
Mostriamo che
tale che
.
Dobbiamo
cioè trovare
tali che
Poichè
,
per le proprietà del massimo comun
divisore,
per cui si ha
;
ad esempio,
e
.
Allora
,
cioè