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Esercizio 5   Considerare il gruppo topologico $GL_{n}(\mathbb{R} )$ e provare che:
1)
$GL_{n}(\mathbb{R} )$ è aperto, non è compatto ed è sconnesso in $M_{n}(\mathbb{R} )$;
2)
$O(n)$ e $SO(n)$sono compatti;
3)
$O(n)$ non è connesso.

Soluzione

1)
Sia

\begin{displaymath}\begin{array}
{cccc}f:&M_{n}(\mathbb{R} )&\longrightarrow&\mathbb{R}\\ &
A&\longmapsto&\det(A).\end{array}\end{displaymath}

Essendo $f$ continua, $GL_{n}(\mathbb{R} )=f^{-1}(\mathbb{R}\setminus \{0\})$ è un aperto di $M_{n}(\mathbb{R} )$. Inoltre $GL_{n}(\mathbb{R} )$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato, ma essendo un sottoinsieme aperto di uno spazio topologico connesso, non può essere anche chiuso, e dunque non è compatto. Infine $GL_{n}(\mathbb{R} )=H_{1}\cup H_{2}$, con $H_{1}=\{A\in
GL_{n}(\mathbb{R} )\vert\,\det(A)>0\}$, $H_{2}=\{A\in
GL_{n}(\mathbb{R} )\vert\,\det(A)<0\}$; poiché $H_{1}$ e $H_{2}$ sono non vuoti e aperti (essendo le controimmagini di aperti tramite l'applicazione $f$ ristretta a $GL_{n}(\mathbb{R} )$), e $H_{1}\cap H_{2}=\emptyset$, $H_{1}$ e $H_{2}$sconnettono $GL_{n}(\mathbb{R} )$.
2)
Consideriamo $O(n)$. La condizione che definisce le matrici di $O(n)$, ${}^{t}\!AA=I_{n}$, si può esprimere come

\begin{displaymath}\sum_{h=1}^{n}a_{hi}a_{hj}=\delta_{ij}, \quad 1\leq i,j\leq n\end{displaymath}

dove $\delta_{ij}=\left\{\begin{array}{cl}1& \mbox{se $i=j$ }\\ 0&
\mbox{se $i\neq j$ .}\end{array}\right.$
Allora, dalla identificazione di $M_{n}(\mathbb{R} )$ con $\mathbb{R} ^{n^{2}}$, segue che $O(n)$ è un chiuso.
Inoltre in particolare vale

\begin{displaymath}\sum_{h=1}^{n}a_{hi}^{2}=1\end{displaymath}

che implica

\begin{displaymath}\sum_{i=1}^{n}\sum_{h=1}^{n}a_{hi}^{2}=n,\end{displaymath}

cioè $O(n)$ si può identificare ad un sottoinsieme chiuso di $\mathbb{R} ^{n^{2}}$, contenuto nel disco chiuso $\overline{D_{\sqrt{n}}(0)}$ di centro $0$ e raggio $\sqrt{n}$. Dunque $O(n)$ è compatto.
Il ragionamento si può ripetere per $SO(n)$. Infatti una matrice $A=(a_{ij})_{1\leq i,j\leq n}$ appartiene ad $SO(n)$ se e solo se

\begin{displaymath}\left\{\begin{array}{ccc}\sum_{h=1}^{n}a_{hi}a_{hj}&=&\delta_{ij}\\
\det(A)&=&1.\end{array}\right.\quad 1\leq i,j\leq n\end{displaymath}

Allora $SO(n)$ è chiuso in $O(n)$che è compatto, essendo intersezione di $O(n)$ con il chiuso $\{A\in M_{n}(\mathbb{R} \vert\,
\det(A)=1\}$, quindi è compatto.
3)
Si ha

\begin{displaymath}O(n)=K_{1}\cup K_{2},\end{displaymath}

dove $K_{1}=\{A\in O(n)\vert\det(A)=1\}$ e $K_{2}=\{A\in O(n)\vert\det(A)=-1\}$.
$K_{1}$ e $K_{2}$ sono disgiunti, non vuoti e chiusi. Infatti l'applicazione

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}f':&O(n)&\longrightarrow&\mathbb{R}\\ & A&\longmapsto&
\det(A),\end{array}\end{displaymath}

è continua essendo restrizione di una funzione continua e si ha che $K_{1}=(f')^{-1}(\{1\})$ e $K_{2}=(f')^{-1}(\{-1\})$. Quindi $K_{1}$ e $K_{2}$ sconnettono $O(n)$.



 
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Alessandra Cellini
2000-02-10