Esercizio 24   Dopo aver verificato che le seguenti applicazioni sono omomorfismi, determinarne nucleo e immagine:
a)
per ogni $n\in \mathbb{Z} $,

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}
f:&\mathbb{C} ^{*}&\longrightarrow&\mathbb{C} ^{*}\\
&z&\longmapsto&z^{n};\end{array}\end{displaymath}

b)

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}
g:&\mathbb{Q} ^{*}&\longrightarrow&\mathbb{Q} ^{*}\\
&x&\longmapsto&\vert x\vert;\end{array}\end{displaymath}

c)

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}
h:&\mathbb{C} ^{*}&\longrightarrow&\mathb...
...z&\longmapsto&(\vert z\vert,\frac{z}{\vert z\vert}).\end{array}\end{displaymath}
 


Esercizio 25   Provare che:
a)
$(\mathbb{Z} ,+)$ non è isomorfo a $(\mathbb{Q} ,+)$;
b)
$(\mathbb{Z} _{2}\times\mathbb{Z} _{8},+)$ non è isomorfo a $(\mathbb{Z} _{4}\times \mathbb{Z} _{4},+)$;
c)
$(\mathbb{R} ,+)$ non è isomorfo a $(\mathbb{R} ^{*},\cdot)$.
 

 

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