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Esercizio 26   Provare che $\mathbb{Z} _{12}\simeq \mathbb{Z} _{3}\times
\mathbb{Z} _{4}.$

Soluzione
Consideriamo l'applicazione

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}
f:&\mathbb{Z} _{12}&\longrightarrow&\math...
...Z} _{4}\\
&[n]_{12}&\longmapsto&([n]_{3},[n]_{4}).\end{array}\end{displaymath}

$f$ è ben definita; infatti se $n\equiv m\;(mod\,12)$ allora $n\equiv m\;(mod\,3)$ e $n\equiv m\;(mod\,4)$.
Proviamo allora che $f$ è un isomorfismo:
$-$
$f$ è un omomorfismo:
$f([n]_{12}+[m]_{12})=f([n+m]_{12})=([n+m]_{3},[n+m]_{4})=$
$=([n]_{3},[n]_{4})+
([m]_{3},[m]_{4})=f([n]_{12})+f([m]_{12}),$
$\forall [n]_{12},[m]_{12}\in \mathbb{Z} _{12}$.
$-$
$f$ è iniettiva:
se $f([n]_{12})=([0]_{3},[0]_{4})$, allora $n=3k$ e $n=4h$, $k,h\in
\mathbb{Z} $, quindi $3\vert 4h$ da cui $3\vert h$, cioè $n=12t$, $t\in
\mathbb{Z} $, quindi $[n]_{12}=[0]_{12}$.
$-$
$f$ è suriettiva:
sia $([n]_{3},[m]_{4})$ un elemento di $\mathbb{Z} _{3}\times\mathbb{Z} _{4}$. Mostriamo che $\exists x\in
\mathbb{Z} $ tale che $([n]_{3},[m]_{4})=([x]_{3},[x]_{4})$. Dobbiamo cioè trovare $k,h\in
\mathbb{Z} $ tali che

\begin{displaymath}n+3k=m+4h.\end{displaymath}

Poichè $MCD(3,4)=1$, per le proprietà del massimo comun divisore, $\exists s,t\in \mathbb{Z} $ per cui si ha $1=3s+4t$; ad esempio, $s=-1$ e $t=1$.
Allora $n-m=-3(n-m)+4(n-m)$, cioè

\begin{displaymath}n+3(n-m)=m+(n-m).\end{displaymath}



Alessandra Cellini
2000-02-09