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Esercizio 12   Determinare i laterali destri e sinistri di $H=<\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\
2&3&1\end{array}\right)>$ in $S_{3}$, e dire se $H$ è normale in $S_{3}$.

Soluzione
Facendo riferimento alle notazioni utilizzate nell'esempio 5 della sezione "Gruppi: definizione e prime proprietà", si ha :

\begin{displaymath}H=<\sigma_{4}>=\{id, \sigma_{4}, \sigma_{5}\}.\end{displaymath}

Per il teorema di Lagrange il numero di laterali destri (o sinistri) di $H$ in $S_{3}$, è pari all'indice di $H$ in $S_{3}$, cioè $[S_{3}:H]=\vert S_{3}\vert/\vert H\vert=2$. Allora, tenendo presente la tavola di moltiplicazione di $S_{3}$, otteniamo:
$Hid=H\sigma_{4}=H\sigma_{5}=H$,
$H\sigma_{1}=\{\sigma_{1}, \sigma_{3},
\sigma_{2}\}=H\sigma_{2}=H\sigma_{3}.$
Quindi i laterali destri di $H$ in $S_{3}$ sono $H$ e $\{\sigma_{1},
\sigma_{2}, \sigma_{3}\}$.
In modo analogo si calcolano i laterali sinistri di $H$ in $S_{3}$:
$idH=\sigma_{4}H=\sigma_{5}H=H$,
$\sigma_{1}H=\{\sigma_{1}, \sigma_{3},
\sigma_{2}\}=\sigma_{2}H=\sigma_{3}H$.
Si vede dunque che laterali destri e sinistri di $H$ in $S_{3}$ coincidono; quindi per proposizione 3 della sezione "Sottogruppi normali", $H$ è normale.

Esercizio 13   Determinare il gruppo quoziente $S_{3}/H$, dove $H$ è il sottogruppo di $S_{3}$ generato da $\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\ 2&3&1\end{array}\right).$

Soluzione
$S_{3}/H$ ha ordine $2$ e i suoi elementi sono i laterali di $H$, cioè

\begin{displaymath}S_{3}/H=\{H, H\sigma_{1}\}.\end{displaymath}

Esercizio 14   Determinare i laterali destri e sinistri di $H=<\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\ 2&1&3\end{array}\right)>$ in $S_{3}$ e dire se $H$ è normale in $S_{3}$.

Soluzione
Facendo riferimento alle notazioni dell' esempio 5 della sezione "Gruppi: definizione e prime proprietà", si ha:

\begin{displaymath}H=\{id, \sigma_{3}\}.\end{displaymath}

Il numero di laterali destri e sinistri di $H$ in $S_{3}$ è pari a $[S_{3}:H]=\vert S_{3}\vert/\vert H\vert=3$.
Dalla tavola di moltoplicazione di $S_{3}$, si ottiene allora:
$Hid=H\sigma_{3}=H$,
$H\sigma_{1}=\{\sigma_{1},\sigma_{4}\}$,
$H\sigma_{2}=\{\sigma_{2}, \sigma_{5}\}$
che sono dunque i laterali destri di $H$ in $S_{3}$.
I laterali sinistri di $H$ in $S_{3}$ sono invece:
$idH=\sigma_{3}H=H$,
$\sigma_{1}H=\{\sigma_{1}, \sigma_{5}\},$
$\sigma_{2}H=\{\sigma_{2}, \sigma_{4}\}.$
Il sottogruppo $H$ non è normale per proposizione 3 della sezione "Sottogruppi normali"; infatti ad esempio $H\sigma_{1}\neq \sigma_{1}H$.


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Alessandra Cellini
2000-02-09