Esercizio 12
Determinare i laterali destri e sinistri di

in

,
e dire se

è normale in

.
Soluzione
Facendo riferimento alle notazioni utilizzate nell'esempio 5
della sezione "Gruppi: definizione e prime proprietà", si ha :
Per il
teorema di Lagrange il numero di laterali destri (o sinistri) di

in

,
è pari
all'indice di

in

,
cioè
![$[S_{3}:H]=\vert S_{3}\vert/\vert H\vert=2$](img5.gif)
.
Allora, tenendo presente la tavola di moltiplicazione di

,
otteniamo:
-
-
,
-
-

Quindi i laterali destri di

in

sono

e

.
In modo analogo si calcolano
i laterali sinistri di

in

:
-
-
,
-
-
.
Si vede dunque che laterali destri e sinistri di

in

coincidono; quindi per
proposizione 3
della sezione "Sottogruppi normali",

è normale.
Esercizio 13
Determinare il gruppo quoziente

,
dove

è il
sottogruppo di

generato da
Soluzione
ha ordine
e i suoi elementi sono i laterali di
,
cioè
Esercizio 14
Determinare i laterali destri e sinistri di

in

e dire se

è normale in

.
Soluzione
Facendo riferimento alle notazioni dell'
esempio 5 della sezione "Gruppi: definizione e prime proprietà", si ha:
Il numero di laterali destri e sinistri di

in

è pari a
![$[S_{3}:H]=\vert S_{3}\vert/\vert H\vert=3$](img17.gif)
.
Dalla
tavola di moltoplicazione di

,
si ottiene
allora:
-
-
,
-
-
,
-
-

che sono dunque i laterali destri di

in

.
I laterali sinistri di

in

sono invece:
-
-
,
-
-

-
-

Il sottogruppo

non è normale per
proposizione 3 della sezione "Sottogruppi normali";
infatti ad esempio

.