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Esercizio 9   Stabilire quali dei seguenti insiemi sono sottogruppi di $S_{4}$:

\begin{eqnarraystar}A&=&\left\{id,\left(\begin{array}{cccc} 1&2&3&4\\
1&3&2&4\...
...in{array}{cccc}1&2&3&4\\
1&3&2&4\end{array}\right)\right\}.
\end{eqnarraystar}




Soluzione
$A$ è un sottogruppo di $S_{4}$, infatti $id \in A$ e

\begin{displaymath}\left( \begin{array}{cccc}1&2&3&4\\
1&3&2&4\end{array}\right)^{2}=id,\end{displaymath}

cioè $A$ è chiuso rispetto al prodotto e all'inverso.

$B$ è un sottogruppo di $S_{4}$, infatti $id \in B$ e

\begin{displaymath}\left(\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\ 2&4&3&1\end{array}\right)^{2}=
\left(\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\ 4&1&3&2\end{array}\right),\end{displaymath}


\begin{displaymath}\left(\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\ 4&1&3&2\end{array}\right)^...
...
\left(\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\ 2&4&3&1 \end{array}\right),\end{displaymath}


\begin{displaymath}\left(\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\ 2&4&3&1\end{array}\right)
\left(\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\ 4&1&3&2 \end{array}\right)=id,\end{displaymath}


\begin{displaymath}\left(\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\ 4&1&3&2 \end{array}\right)
\left(\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\ 2&4&3&1\end{array}\right)=id,\end{displaymath}

cioè $B$ è chiuso rispetto al prodotto e all'inverso.

$C$ non è invece un sottogruppo di $S_{4}$, non essendo chiuso rispetto al prodotto:

\begin{displaymath}\left(\begin{array}{cccc}1&2&3&4\\
2&1&3&4\end{array}\right)...
...egin{array}{cccc}1&2&3&4\\
2&3&1&4\end{array}\right)\not\in C.\end{displaymath}



Alessandra Cellini
2000-02-09