Esercizio 25
Provare che:
- a)
-
non è isomorfo a
;
- b)
-
non
è isomorfo a
;
- c)
-
non è isomorfo a
.
Suggerimento
In ogni caso, mostrare che uno dei due gruppi gode, e l'altro no, di una certa
proprietà, che viene invece mantenuta da ogni isomorfismo
(proposizione 10 della sezione "Gruppi isomorfi").
Soluzione
- a)
-
e
non sono
isomorfi in quanto il primo è ciclico, mentre il secondo non lo è.
- b)
-
e
non sono isomorfi in quanto
nel primo gruppo l'elemento
ha periodo
,
mentre nel
secondo non esistono elementi di tale periodo, infatti ogni
ha ordine
.
- c)
- Non esiste un isomorfismo tra
e
,
in quanto in
,
oltre all'elemento neutro
,
esiste un altro elemento,
,
di
periodo finito (infatti
ha ordine
),invece in
il solo elemento
di periodo finito è lo
.