Soluzione
Il gruppo dei numeri complessi di modulo $1$, è l'insieme

\begin{displaymath}S^{1}=\{\exp(2\pi i\theta)\vert \theta\in\mathbb{R}\}.\end{displaymath}

Consideriamo allora l'applicazione

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}
f:&\mathbb{R} &\longrightarrow&S^{1}\\
&\theta&\longmapsto&\exp(2\pi i\theta).\end{array}\end{displaymath}

$f$ è un omomorfismo suriettivo, infatti:

\begin{displaymath}f(\theta + \varphi)=\exp(2\pi i(\theta+\varphi))=\exp(2\pi i\theta)\exp(2\pi
i\varphi)=
f(\theta)f(\varphi),\end{displaymath}

$\forall \theta,\varphi \in \mathbb{R} $. Inoltre il nucleo di $f$ è l'insieme

\begin{displaymath}\ker f=\{\theta\in \mathbb{R} \vert\exp(2\pi i\theta) =1\}=\mathbb{Z} .\end{displaymath}

Per il teorema fondamentale di omomorfismo si ha allora: $\mathbb{R} /\mathbb{Z}\simeq S^{1}$.







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