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Esercizio 19   Sia $G$ un gruppo ciclico di ordine $12$. Esistono sottogruppi di ordine $3$? E di ordine $4$? E di ordine $5$? Se si, quali?

Soluzione
Sia $G=<a>$. Dalla proposizione 8 della sezione "Gruppi e sottogruppi ciclici", segue che esistono sottogruppi di $G$ di ordine $3$ e $4$, ma non di ordine $5$. Inoltre $<a^{4}>$ e $<a^{3}>$ sono gli unici sottogruppi di ordine $3$ e $4$ rispettivamente.

Esercizio 20   Provare che se $G$ è un gruppo di ordine $\leq 5$, $G$ è abeliano.

Suggerimento
Utilizzare il teorema di Lagrange e i suoi corollari.

Soluzione
Se $\vert G\vert=1$, l'affermazione è ovvia.
Se $\vert G\vert=2, 3, 5$, se cioè l'ordine di $G$ è un primo, dal teorema di Lagrange segue che $G$ è ciclico, e dunque abeliano.
Infine se $\vert G\vert=4$, per ogni $a\in G$, $\vert a\vert=1$ o $2$ o $4$; distinguiamo allora due casi:

Esercizio 21   Provare che ogni sottogruppo $H$ di un gruppo $G$, di indice $2$, è normale.

Suggerimento
Mostrare che i laterali destri e sinistri di $H$ in $G$ coincidono.

Soluzione
Se $H$ e $Ha$ sono i due laterali destri distinti di $H$ in $G$, $G$ è unione disgiunta di $H$ e $Ha$. Ma $G$ è anche unione disgiunta dei due laterali sinistri distinti ( $a\not\in H$) $H$ e $aH$. Allora

\begin{displaymath}Ha=G \setminus H
=aH,\end{displaymath}

cioè laterali destri e sinistri di $H$ in $G$ coincidono, e quindi $H$ è normale in $G$.


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Alessandra Cellini
2000-02-09