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Esercizio 27   Nel gruppo $(\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} ,+)$, si considerino gli insiemi:

\begin{displaymath}H=\{(x,x)\vert x\in \mathbb{Z}\},\end{displaymath}


\begin{displaymath}K=\{(2x,4y)\vert x,y\in
\mathbb{Z}\}.\end{displaymath}

a)
Provare che $H$ e $K$ sono sottogruppi normali.
b)
Si dica se l'ordine del gruppo quoziente $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z} /H$, rispettivamente di $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} /K$, è finito o infinito, e se è finito lo si determini.

Suggerimento
Per determinare l'ordine dei due gruppi quoziente, mostrare che sono isomorfi rispettivamente a $\mathbb{Z} $ e $\mathbb{Z} _{2}\times\mathbb{Z} _{4}$.

Soluzione
Consideriamo le applicazioni:

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}
f:&\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} &\longrightarrow&\mathbb{Z}\\
&(x,y)&\longmapsto&x-y,\end{array}\end{displaymath}


\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}
g:&\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} &\longright...
...bb{Z} _{4}\\
&(x,y)&\longmapsto& ([x]_{2},[y]_{4}).\end{array}\end{displaymath}

Si vede facilmente che $f$ e $g$ sono omomorfismi suriettivi; inoltre si ha:

\begin{displaymath}\ker f=\{(x,y)\in \mathbb{Z}\times\mathbb{Z} \vert\,x-y=0\}=H,\end{displaymath}

\begin{eqnarraystar}\ker g&=&\{(x,y)\in
\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} \vert\,([x]_...
...,\mbox{ e }
y=4h,\mbox{ con } k,h\in \mathbb{Z}\}=\\
&=& K.\end{eqnarraystar}



Allora $H$ e $K$ sono sottogruppi normali di $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} $, e per il teorema fondamentale di omomorfismo si ha:

\begin{displaymath}\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} /H \simeq \mathbb{Z}\quad \mbox{e}...
...times\mathbb{Z} /K\simeq
\mathbb{Z} _{2}\times\mathbb{Z} _{4}.\end{displaymath}

Quindi in particolare $\mathbb{Z}\times \mathbb{Z} /H$ ha ordine infinito, mentre $\mathbb{Z}\times\mathbb{Z} /K$ ha ordine $8$.



Alessandra Cellini
2000-02-09