Esercizio 18
Dato un campo

,
determinare il sottogruppo

delle matrici di

,
che commutano con tutte le matrici

,
dove
Si consideri poi, l'applicazione
Provare che

è un omomorfismo suriettivo, e determinare

.
Infine provare che l'applicazione
è un isomorfismo.
Soluzione
Calcoliamo

e

:
Uguagliando le due matrici trovate, si ottiene il sistema:
equivalente a:
allora

è un omomorfismo:

,
Inoltre

è ovviamente suriettiva.
Calcoliamo

:
Consideriamo ora l'applicazione

:

è un omomorfismo:

,
si ha

è suriettivo, ed è iniettivo essendo
Dunque

è un isomorfismo.