Soluzione
Sia
è un omomorfismo di gruppi
topologici suriettivo. Inoltre è aperta, infatti sia
un aperto di
;
proviamo che
è un aperto di
mostrando che
è intorno di ogni suo punto. Sia
,
allora
tale che
.
Sia
un intorno di
,
dove
è il disco aperto di centro
e raggio
;
allora se
,
;
sia
.
Quindi
,
essendo
aperto, e
,
cioè
.
Si ha dunque
cioè
è aperto.
Dal teorema 6
della sezione "Morfismi di gruppi topologici", segue allora che
,
essendo
.