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Esercizio 15   Provare che i seguenti insiemi sono sottogruppi di $GL_{2}(\mathbb{R} )$:
a)
$H_{1}=\{\left(\begin{array}{cc}a&b\\
-b&a\end{array}\right)\vert\,a,b\in \mathbb{R} ,\,a^{2}+b^{2}\neq 0\};$
b)
$H_{2}=\{\left(\begin{array}{cc}a&b\\
c&d\end{array}\right)\vert\,a,b,c,d\in \mathbb{R} ,\,ad-bc\in \mathbb{Q} ^{*}\};$
c)
$H_{3}=\{\left(\begin{array}{cc}a&b\\
0&1\end{array}\right)\vert\,a,b\in \mathbb{R} ,\,a\neq 0\};$
d)
$H_{4}=\{\left(\begin{array}{cc}a&b\\
0&a^{-1}\end{array}\right)\vert\,a,b\in \mathbb{R} ,\,a\neq 0\}.$

Soluzione
Tutti gli insiemi considerati sono sottoinsiemi di $GL_{2}(\mathbb{R} )$, visto che contengono matrici a determinante non nullo, e tutti contengono la matrice identica $I_{2}$; inoltre si ha:

a)
  • $\forall \left(\begin{array}{cc}a&b\\
-b&a\end{array}\right) ,\left(\begin{array}{cc}c&d\\
-d&c\end{array}\right)\in H_{1}$,

    \begin{displaymath}\left(\begin{array}{cc}a&b\\
-b&a\end{array}\right) \left(\b...
...{cc}ac-bd& ad+bc\\
-(bc+ad)&-bd+ac\end{array}\right)\in H_{1};\end{displaymath}

  • $\forall \left(\begin{array}{cc}a&b\\
-b&a\end{array}\right) \in H_{1}$,

    \begin{displaymath}\left(\begin{array}{cc}a&b\\
-b&a\end{array}\right)^{-1}=\fr...
...}\left(\begin{array}{cc}
a&-b\\ b&a\end{array}\right)\in H_{1}.\end{displaymath}

Quindi $H_{1}$ è un sottogruppo.
b)
Si ha $H_{2}=\{A\in GL_{2}(\mathbb{R} )\vert\,\det(A)\in
\mathbb{Q} ^{*}\}$. Quindi
  • se $A,B\in H_{2}$, allora $\det(AB)=\det(A)\det(B)\in
\mathbb{Q} ^{*}$;
  • se $A\in H_{2}$, allora $\det(A^{-1})=(\det(A))^{-1}\in
\mathbb{Q} ^{*}$;
cioè $H_{2}$ è un sottogruppo.
c)
  • $\forall \left(\begin{array}{cc}a&b\\
0&1\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}c&d\\
0&1\end{array}\right)\in H_{3}$,

    \begin{displaymath}\left(\begin{array}{cc}a&b\\
0&1\end{array}\right)\left(\beg...
...eft(\begin{array}{cc}
ac&ad+b\\ 0&1\end{array}\right)\in H_{3};\end{displaymath}

  • $\forall \left(\begin{array}{cc}a&b\\
0&1\end{array}\right)\in H_{3}$,

    \begin{displaymath}\left(\begin{array}{cc}a&b\\
0&1\end{array}\right)^{-1}=\fra...
...in{array}{cc}
a^{-1}&-ba^{-1}\\ 0&1\end{array}\right)\in H_{3}.\end{displaymath}

$H_{3}$ è dunque un sottogruppo.
d)
  • $\forall \left(\begin{array}{cc}a&b\\
0&a^{-1}\end{array}\right),\left(\begin{array}{cc}c&d\\
0&c^{-1}\end{array}\right)\in H_{4},$

    \begin{displaymath}\left(\begin{array}{cc}a&b\\
0&a^{-1}\end{array}\right)\left...
...}
ac& ad+bc^{-1}\\ 0 & a^{-1}c^{-1}\end{array}\right)\in H_{4};\end{displaymath}

  • $\forall \left(\begin{array}{cc}a&b\\
0&a^{-1}\end{array}\right)\in H_{4}$,

    \begin{displaymath}\left(\begin{array}{cc}a&b\\
0&a^{-1}\end{array}\right)^{-1}...
...t(\begin{array}{cc}
a^{-1}&-b\\ 0&a\end{array}\right)\in H_{4}.\end{displaymath}

Quindi $H_{4}$ è un sottogruppo.



Alessandra Cellini
2000-02-09