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Esercizio 9   Il gruppo $S_{3}$ è ciclico?

Soluzione
Se $S_{3}$ fosse ciclico, per il punto $1$ della propsizione 2 della sezione "Gruppi e sottogruppi ciclici", dovrebbe essere abeliano; ma ad esempio

\begin{displaymath}\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\ 3&2&1\end{array}\right)
\lef...
...\right)=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\ 1&3&2\end{array}\right)\end{displaymath}

e

\begin{displaymath}\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\ 3&1&2\end{array}\right)
\lef...
...ight)=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\
2&1&3\end{array}\right),\end{displaymath}

quindi $S_{3}$ non è abeliano e dunque nemmeno ciclico.

Esercizio 10   Determinare l'ordine dei seguenti elementi:
a)
$i$ in $\mathbb{C} ^{*}$;
b)
$\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\ 2&1&3
\end{array}\right)$ in $S_{3}$;
c)
$\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\
2&3&1\end{array}\right)$ in $S_{3}$.

Soluzione

a)
$i\neq 1$, $i^{2}=-1$, $i^{3}=-i$ e $i^{4}=1$; quindi $\vert i\vert=4$;
b)
$\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\
2&1&3\end{array}\right)\neq id$, e $\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\ 2&1&3\end{array}\right)^{2}=id$; $\left\vert\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\
2&1&3\end{array}\right)\right\vert=2$;
c)
$\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\
2&3&1\end{array}\right)\neq id$, $\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\
2&3&1 \end{array}\right)^{2}=\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\
3&1&2\end{array}\right)\neq id$, e

\begin{displaymath}\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\
2&3&1\end{array}\right)^{3}=...
...t)
\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\ 2&3&1\end{array}\right)=id;\end{displaymath}

quindi $\left\vert\left(\begin{array}{ccc}1&2&3\\
2&3&1\end{array}\right)\right\vert=3$.



Alessandra Cellini
2000-02-09