Soluzione
$\forall A, B\in GL_{n}(K)$, $f(AB)=\det(A B)=\det(A)
\det(B)=f(A)f(B)$, cioè $f$ è un omomorfismo.
Inoltre $\ker
f=\{A\in GL_{n}(K)\vert\,\det(A)=1\}=SL_{n}(K)$ e dunque per il teorema fondamentale di omomorfismo, essendo $f$ suriettiva, $GL_{n}(K)/SL_{n}(K)\simeq K^{*}$.







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