Soluzione
Facendo riferimento alle notazioni utilizzate nell'esempio 5 della sezione "Gruppi: definizione e prime proprietà", si ha :

\begin{displaymath}H=<\sigma_{4}>=\{id, \sigma_{4}, \sigma_{5}\}.\end{displaymath}

Per il teorema di Lagrange il numero di laterali destri (o sinistri) di $H$ in $S_{3}$, è pari all'indice di $H$ in $S_{3}$, cioè $[S_{3}:H]=\vert S_{3}\vert/\vert H\vert=2$. Allora, tenendo presente la tavola di moltiplicazione di $S_{3}$, otteniamo:
$Hid=H\sigma_{4}=H\sigma_{5}=H$,
$H\sigma_{1}=\{\sigma_{1}, \sigma_{3},
\sigma_{2}\}=H\sigma_{2}=H\sigma_{3}.$
Quindi i laterali destri di $H$ in $S_{3}$ sono $H$ e $\{\sigma_{1},
\sigma_{2}, \sigma_{3}\}$.
In modo analogo si calcolano i laterali sinistri di $H$ in $S_{3}$:
$idH=\sigma_{4}H=\sigma_{5}H=H$,
$\sigma_{1}H=\{\sigma_{1}, \sigma_{3},
\sigma_{2}\}=\sigma_{2}H=\sigma_{3}H$.
Si vede dunque che laterali destri e sinistri di $H$ in $S_{3}$ coincidono; quindi per la proposizione 3 della sezione "Sottogruppi normali", $H$ è normale.







Home Page