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Esercizio 24   Dopo aver verificato che le seguenti applicazioni sono omomorfismi, determinarne nucleo e immagine:
a)
per ogni $n\in \mathbb{Z} $,

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}
f:&\mathbb{C} ^{*}&\longrightarrow&\mathbb{C} ^{*}\\
&z&\longmapsto&z^{n};\end{array}\end{displaymath}

b)

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}
g:&\mathbb{Q} ^{*}&\longrightarrow&\mathbb{Q} ^{*}\\
&x&\longmapsto&\vert x\vert;\end{array}\end{displaymath}

c)

\begin{displaymath}\begin{array}{cccc}
h:&\mathbb{C} ^{*}&\longrightarrow&\mathb...
...z&\longmapsto&(\vert z\vert,\frac{z}{\vert z\vert}).\end{array}\end{displaymath}

Soluzione

a)
$f(zw)=(zw)^{n}=z^{n}w^{n}=f(z)f(w)$, $\forall z,w \in \mathbb{C} ^{*}.$
Inoltre $\ker f=\{z\in \mathbb{C} ^{*}\vert\,z^{n}=1\}$, cioè il nucleo di $f$, è l'insieme delle radici n-esime dell'unità. L'immagine di $f$ coincide invece con $\mathbb{C} ^{*}$.
b)
$g(xy)=\vert xy\vert=\vert x\vert\vert y\vert=g(x)g(y)$, $\forall x,y\in
\mathbb{Q} ^{*}$.
Il nucleo di $g$ è l'insieme $\{x\in
\mathbb{Q} ^{*}\vert\,\vert x\vert=1\}=\{1,-1\}$; l'immagine di $g$ è invece $\mathbb{Q} ^{+}$.
c)
$f(zw)=(\vert zw\vert,\frac{zw}{\vert zw\vert})=
(\vert z\vert\vert w\vert,\frac...
...t z\vert,\frac{z}{\vert z\vert})(\vert w\vert,\frac{w}{\vert w\vert})=
f(z)f(w)$, $\forall z,w \in \mathbb{C} $. Si ha poi: $\ker h=\{z\in
\mathbb{C} ^{*}\vert\,\vert z\vert=1,\,z=1\}=\{1\}$ e $Im h=\mathbb{R} ^{+}\times
S^{1},$ infatti, se $(\rho,\exp(i\theta))\in \mathbb{R} ^{+}\times S^{1}$, si ha $h(\rho\exp(i\theta))=(\rho,\exp(i\theta))$; $h$ è dunque un isomorfismo.

Esercizio 25   Provare che:
a)
$(\mathbb{Z} ,+)$ non è isomorfo a $(\mathbb{Q} ,+)$;
b)
$(\mathbb{Z} _{2}\times\mathbb{Z} _{8},+)$ non è isomorfo a $(\mathbb{Z} _{4}\times \mathbb{Z} _{4},+)$;
c)
$(\mathbb{R} ,+)$ non è isomorfo a $(\mathbb{R} ^{*},\cdot)$.

Suggerimento
In ogni caso, mostrare che uno dei due gruppi gode, e l'altro no, di una certa proprietà, che viene invece mantenuta da ogni isomorfismo (proposizione 10 della sezione "Gruppi isomorfi").

Soluzione

a)
$(\mathbb{Z} ,+)$ e $(\mathbb{Q} ,+)$ non sono isomorfi in quanto il primo è ciclico, mentre il secondo non lo è.
b)
$(\mathbb{Z} _{2}\times\mathbb{Z} _{8},+)$ e $(\mathbb{Z} _{4}\times \mathbb{Z} _{4},+)$ non sono isomorfi in quanto nel primo gruppo l'elemento $([1]_{2},[1]_{8})$ ha periodo $8$, mentre nel secondo non esistono elementi di tale periodo, infatti ogni $(a,b)\in \mathbb{Z} _{4}\times\mathbb{Z} _{4}$ ha ordine $\leq 4$.
c)
Non esiste un isomorfismo tra $(\mathbb{R} ,+)$ e $(\mathbb{R} ^{*},\cdot)$, in quanto in $(\mathbb{R} ^{*},\cdot)$, oltre all'elemento neutro $1$, esiste un altro elemento,$-1$, di periodo finito (infatti $-1$ ha ordine $2$),invece in $(\mathbb{R} ,+)$ il solo elemento di periodo finito è lo $0$.


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Alessandra Cellini
2000-02-09