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Esercizio 1
- a)
- Verificare che
è un
sottogruppo di
.
- b)
- Provare che per
non è normale in
.
- c)
- Provare che
è omeomorfo a
.
- d)
- Provare che lo spazio omogeneo
(vedi definizione
) è omeomorfo a
,
la sfera
unitaria di
.
Suggerimento
- b)
- Provare che se
,
esistono
e
tali che
.
Verificare dapprima l'affermazione
per
,
osservando che poichè vogliamo
,
necessariamente
.
- d)
- Mostrare che l'applicazione
è
ben definita e provare che è un omeomorfismo.
Soluzione
- a)
- Verifichiamo innanzitutto che
è un
sottogruppo di
:
-
;
- se
,
allora
,
cioè
;
- se
,
allora
,
cioè
.
Cerchiamo ora una caratterizzazione più esplicita di
.
Se
,
,
quindi se
,
D'altra parte
implica in particolare
,
quindi si
ha
cioè
Poichè
e dato che
,
ne segue
,
cioè
.
Quindi
- b)
- Sia
.
Vogliamo provare che
non è
normale in
,
cioè che
tali che
.
Sia ad esempio (se
,
non compare
)
e
si ha:
.
- c)
- L'applicazione
è ben definita ed è
un omeomorfismo di
in
.
- d)
- Consideriamo allora l'applicazione
Si osservi che
è un vettore colonna
identificato ad un vettore di
(il suo trasposto).
è ben definita:
- se
,
si ha
,
cioè
e quindi
moltiplicando entrambi i membri
a sinistra per
si ha:
cioè
.
- se
,
,
essendo
una matrice ortogonale.
è iniettiva: sia
.
Se
e
si ha
,
.
Allora, se
,
si ha
in altre parole,
Inoltre essendo
un gruppo,
,
e dunque
.
Ne segue
.
è suriettiva: sia
.
Cerchiamo
tale che
Completiamo
ad una base ortonormale di
:
Se
si ha che
,
essendo
ortonormale;
e inoltre
è continua: consideriamo il seguente diagramma
commutativo:
dove
è la proiezione canonica di
sul quoziente
e
è
l'applicazione ottenuta dalla funzione continua
restringendo il codominio a
(dunque anche
è continua).
Sia
un aperto
di
;
è aperto in
in quanto
è aperto in
,
essendo
continua.
Dunque
è continua.
è un omeomorfismo: osserviamo che
è
,
essendo un sottospazio
di
che è
,
e
è
compatto, in quanto
è
compatto (esercizio
). Allora
,
essendo continua e
biunivoca, è un omeomorfismo.
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Alessandra Cellini
2000-03-10