Soluzione

\begin{displaymath}SO(2)=\{A\in
GL_{2}(\mathbb{R} )\vert\,{}^{t}\!AA=I_{2},\,\det(A)=1\}\end{displaymath}

cioè $A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\ c&d\end{array}\right)\in SO(2)$ se e solo se

\begin{displaymath}\left(\begin{array}{cc}a&b\\ c&d\end{array}\right)\left(\begi...
...rray}\right)=\left(\begin{array}{cc}1&0\\ 0&1\end{array}\right)\end{displaymath}

e $ad-bc=1$, cioè se e solo se

\begin{displaymath}\left\{\begin{array}{ccc}a^{2}+b^{2}&=&1\\ ac+bd&=&0\\
c^{2}+d^{2}&=&1\\ ad-bc&=&1.\end{array}\right.\end{displaymath}

Se $c\ne 0$, dalla seconda equazione si ottiene $a=-\frac{bd}{c}$ che sostituita nella quarta equazione dà $-bd^{2}-bc^{2}=c$, cioè $-b=c$ e quindi $a=d.$
Se $c=0$ allora $d=\pm 1$, $b=0$, $a=d$.
In ogni caso si ha:

\begin{displaymath}SO(2)=\left\{\left(\begin{array}{cc}a&b\\ -b&a\end{array}\right)\left\vert\right.\,a^{2}+b^{2}=1\right\},\end{displaymath}

da cui segue

\begin{displaymath}SO(2)=\left\{\left(\begin{array}{cc}cos\theta&sen\theta\\ -se...
...nd{array}\right)\left\vert\right.\,\theta\in\mathbb{R}\right\}.\end{displaymath}

Mostriamo allora che $f$ è un isomorfismo di gruppi topologici:

 

 

 

 

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