Esercizio 27
Nel gruppo

,
si considerino gli
insiemi:
- a)
- Provare che
e
sono sottogruppi normali.
- b)
- Si dica se l'ordine del gruppo quoziente
,
rispettivamente di
,
è finito o infinito, e se è
finito lo si determini.
Suggerimento
Per determinare l'ordine dei due gruppi quoziente, mostrare che sono
isomorfi rispettivamente a
e
.
Soluzione
Consideriamo le applicazioni:
Si vede facilmente che

e

sono omomorfismi suriettivi; inoltre si
ha:
Allora

e

sono sottogruppi normali di

,
e per il
teorema fondamentale di omomorfismo si ha:
Quindi in particolare

ha ordine
infinito, mentre

ha ordine

.