Soluzione
Nel completamento proiettivo di $\mathbf{A^3(R)}$ il problema si riduce al problema di trovare una retta congiungente due punti dati.
Infatti si consideri il punto $Q=\alpha \cap \beta \cap H_0$ (dove $\alpha$ e $\beta$ sono le chiusure proiettive rispettivamente di $\alpha'$ e $\beta'$).
La retta passante per $P=j_0(P')$ e $Q$ è quella richiesta.
Nel caso particolare, passando a coordinate omogenee, abbiamo $Q: \left\{ \begin{array}{l} X_0=0 \\ -X_0+2X_1+3X_2=0 \\ -X_0+X_1-2X_2+X_3=0 \end{array} \right.,$ cioè $Q: \left\{ \begin{array}{l} X_0=0 \\ X_1=-\frac{3}{2}X_2 \\ X_3=2X_2-X_1=2X_2+\frac{3}{2}X_2=\frac{7}{2}X_2. \end{array} \right.$
Quindi $Q=[0,-3,2,7],$ mentre $P=j_0(P')=[1,1,0,1].$
La retta $r,$ cioè la chiusura proiettiva di $r',$ ha pertanto equazioni cartesiane ottenute annullando i minori di ordine 3 orlati di $\left( \begin{array}{cc} 0 & -3 \\ 1 & 1 \end{array} \right)$ in $\left( \begin{array}{cccc} X_0 & X_1 & X_2 & X_3 \\ 0 & -3 & 2 & 7\\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{array} \right),$ e cioè

\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{c} \left\vert \begin{array}{ccc} X_0 &... ... 7 \\ 1 & 1 & 1 \end{array}\right\vert =0. \end{array} \right.\end{displaymath}

Pertanto $r: \left\{ \begin{array}{l} X_0(-2)-X_1(-2)+X_2(3)=0\\ X_0(-10)-X_1(-7)+X_3(3)=0 \end{array} \right. ,$ cioè $r: \left\{ \begin{array}{l} -2X_0+2X_1 +3X_2=0\\ -10X_0+7X_1 +3X_3=0. \end{array} \right.$Quindi, passando a coordinate non omogenee,

\begin{displaymath}r': \left\{ \begin{array}{l} 2X+3Y=2 \\ 7Y +3Z=10 . \end{array} \right.\end{displaymath}

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