Soluzione
Passando alle coordinate omogenee, il problema si riduce a cercare le soluzioni del seguente sistema:


\begin{displaymath}(\star)\left\{ \begin{array}{l} 2X_0+2X_1+X_2+X_3=0 \\ -3X_0+X_1-X_2+X_3=0 \\ 3X_1+3X_2+X_3=0. \end{array} \right.\end{displaymath}

Consideriamo la matrice $\mathsf{A}$ del sistema, e agiamo su di essa con varie operazioni elementari. In questo modo le soluzioni di $(\star)$ non cambiano:

\begin{displaymath}\mathsf{A}=\left( \begin{array}{cccc} 2 & 2 & 1 & 1 \\ -3 &... ... & 1 & 5 \\ 0 & 3 & 3 & 1 \end{array} \right) \longrightarrow\end{displaymath}


\begin{displaymath}\longrightarrow \left( \begin{array}{cccc} 2 & 2 & 1 & 1 \\ ... ...1 & 1 \\ 0 & 8 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 3 & -1 \end{array} \right)\end{displaymath}

Quindi $\alpha \cap r$ è la soluzione del sistema $\left\{ \begin{array}{l} 2X_0+2X_1+X_2+X_3=0 \\ 8X_1+X_2+5X_3=0 \\ 3X_2-X_3=0 \end{array} \right.,$ cioè del sistema $\left\{ \begin{array}{l} 2X_0=-2X_1-X_2-X_3 \\ 8X_1=-X_2-15X_2 \\ X_3=3X_2 \end{array} \right.,$ ovvero di $\left\{ \begin{array}{l} 2X_0=4X_2-X_2-3X_2 \\ X_1=-2X_2 \\ X_3=3X_2 \end{array} \right.,$ quindi di $\left\{ \begin{array}{l} X_0=0 \\ X_1=-2X_2 \\ X_3=3X_2. \end{array} \right.$
Pertanto $\alpha \cap r=[0,-2,1,3].$ Poiché $\alpha \cap r \in H_0,$ si deduce che $\alpha'$ ed $r'$ sono paralleli in $\mathbf{A^3(R)}.$

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