Soluzione
$1) \;$ I punti $A_1,A_2,A_3$ sono linearmente indipendenti se e solo se $\mathrm{r} \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 1 & -1 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 2 & 1 & 3 \end{array} \right) =3.$Si ha: $\mathrm{r} \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & ... ... 1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -1 & -3 & 0 \end{array} \right) =3 ,$ quindi $A_1,A_2,A_3$ sono linearmente indipendenti.
I punti $B_1,B_2,B_3$ sono linearmente indipendenti se e solo se $\mathrm{r} \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 0 & -1 & 2 \\ 1 & 3 & 0 & 7 & 0 \\ 1 & 2 & -1 & 0 & 3 \end{array} \right) =3.$ Si ha: $\mathrm{r} \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 1 & 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & 0 & 8 & ... ...& -1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 & 6 & -4 \end{array} \right) =3 ,$ quindi $B_1,B_2,B_3$ sono linearmente indipendenti.
Una rappresentazione parametrica omogenea dei due piani è:

$$H:\left\{ \begin{array}{l} x_0=\lambda_2+\lambda_3 \\ x_1=\... ...\\ x_3=-\mu_1+7\mu_2 \\ x_4=2\mu_1+3\mu_3 \end{array} \right.$$

con $(\lambda_1, \lambda_2,\lambda_3) \neq (0,0,0) \neq (\mu_1,\mu_2,\mu_3)$ parametri omogenei.
Per trovare le equazioni cartesiane per i piani proiettivi $H$ ed $H'$ bisogna porre rispettivamente

$$\mathrm{r}\left( \begin{array}{ccccc} x_0 & x_1 & x_2 & x_3 ... ... & 3 & 0 & 7 & 0 \\ 1 & 2 & -1 & 0 & 3 \end{array} \right) =3.$$

Siccome $\mathrm{r} \left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1 \\ 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \end{array} \right) =3,$ la prima condizione è verificata se e solo se

$$\left\{ \begin{array}{ll} \left\vert \begin{array}{cccc} x_... ... & 0 & 2 & 3 \end{array} \right\vert & =0 \end{array} \right.,$$

cioè se e solo se

$$\left\{ \begin{array}{l} x_0 \left\vert \begin{array}{ccc} 1... ...1 \\ 2 & -1 & 1 \end{array} \right\vert =0 \end{array} \right.$$

ovvero $\left\{ \begin{array}{l} x_0(-1+2+4)+x_1(-3)-x_2(1)+x_3(2)-(x_1+2x_2+x_3(-1+2)... ...)+x_1(-3+2)-x_2(3)+x_4(2)-(x_1(-1-1)-x_2(1+2)+x_4(-1+2))=0 \end{array} \right..$ Quindi equazioni cartesiane per $H$ sono:

$$\left\{ \begin{array}{l} 5x_0 -4x_1 -3x_2 +x_3 =0 \\ 3x_0 -x_1 -x_4 =0 \end{array}\right..$$

Siccome $\mathrm{r} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 3 \end{array} \right) =3,$ la seconda condizione è verificata se e solo se

$$\left\{ \begin{array}{ll} \left\vert \begin{array}{cccc} x_... ...& 2 & -1 & 3 \end{array} \right\vert & =0 \end{array} \right.,$$

cioè se e solo se

$$\left\{ \begin{array}{l} x_2 \left\vert \begin{array}{ccc} 1... ...2 \\ 1 & 3 & 0 \end{array} \right\vert =0 \end{array} \right.$$

ovvero $\left\{ \begin{array}{l} x_2(21+3-14)+x_0(-14)-x_3(-2)+x_4(8)=0 \\ x_2(9-3-2)+x_0(-6)-x_1(-2)+x_4(2)=0 \end{array} \right..$ Quindi equazioni cartesiane per $H'$ sono:

$$\left\{ \begin{array}{l} 7x_0 -5x_2 -x_3 -4x_4 =0 \\ 3x_0 -x_1 -2x_2 -x_4 =0 \end{array}\right.$$

$2)\;$ L'intersezione dei due piani è $H \cap H' = \{ P=[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4] \in \mathbf{P^4(R)}: \; (\ast) \left\{ \... ..._0 -5x_2 -x_3 -4x_4 =0 \\ 3x_0 -x_1 -2x_2 -x_4 =0 \\ \end{array} \right. \} .$
Facendo varie operazioni elementari sulle equazioni del sistema $(\ast),$ che corrispondono ad operazioni elementari sulla matrice associata, si ottiene un sistema ad esso equivalente:

$$\left( \begin{array}{ccccc} 3 & -1 & 0 & 0 & -1 \\ 5 & -4 & ... ...0 & -7 & 0 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \end{array} \right) .$$

Quindi

$$H \cap H'= \{ P=[x_0,x_1,x_2,x_3,x_4] \in \mathbf{P^4(R)}: \l... ...4 =0 \\ -7x_1 +3x_3 +5x_4 =0 \\ x_2 =0 \end{array} \right. \}$$

è una retta in $\mathbf{P^4(R)}.$