Esercizio 1   Siano $S_1, \; S_2,\; S_3$ sottospazi proiettivi di uno spazio proiettivo $\mathbf{P(V)}$ di dimensione $n.$
$1)\;$ Dimostrare con un esempio che in generale non vale l'uguaglianza $S_1 \cap (S_2 +S_3)=(S_1 \cap S_2) + (S_1 \cap S_3).$ $(\ast \ast)$

$2)\;$ Provare che la relazione $(\ast \ast)$ è vera se $S_2$ $($o $S_3)$ è contenuto in $S_1.$

Suggerimenti
$1)\;$ Supporre $n \geq 2$ e considerare un iperpiano proiettivo e due punti distinti non appartenenti a tale iperpiano.

$2)\;$ Dimostrare la doppia inclusione per mezzo dei sottospazi vettoriali associati.

Soluzione
$1)\;$ Supposto $n \geq 2,$ siano $S_1$ un iperpiano proiettivo di $\mathbf{P(V)},$ $S_2$ e $S_3$ due punti distinti di $\mathbf{P(V)}$ non appartenenti ad $S_1.$ Si ha: $S_1 \cap S_2 = S_1 \cap S_3 = \emptyset,$ quindi è $(S_1 \cap S_2)+(S_1 \cap S_3) = \emptyset,$ mentre l'iperpiano $S_1$ e la retta $S_2 +S_3$ hanno un punto in comune (vedi esercizio 8).

$2)\;$ Siano $S_1 = \mathbf{P(U_1)},$ $S_2 = \mathbf{P(U_2)},$ $S_3 = \mathbf{P(U_3)},$ con $\mathbf{U_1}, \mathbf{U_2}, \mathbf{U_3}$ sottospazi vettoriali di $\mathbf{V},$ e sia per esempio $S_2 \subseteq S_1;$ allora $\mathbf{U_2} \subseteq \mathbf{U_1}.$ In questa ipotesi dobbiamo dimostrare che $S_1 \cap (S_2 +S_3)= S_2 + (S_1 \cap S_3).$ Proviamo la doppia inclusione.

$\subseteq \;)\;$ Se $P=[\mathbf{v} ] \in S_1 \cap (S_2 +S_3),$ allora $\mathbf{v} \in \mathbf{U_1}$ e $\mathbf{v} \in \mathbf{U_2} +\mathbf{U_3},$ ossia $\mathbf{v} = \mathbf{u_2} + \mathbf{u_3}$ con $\mathbf{u_2} \in \mathbf{U_2}$ e $\mathbf{u_3} \in \mathbf{U_3}.$
Poiché $\mathbf{U_2} \subseteq \mathbf{U_1},$ allora $\mathbf{u_2} \in \mathbf{U_1}$ e $\mathbf{u_3} =\mathbf{v} - \mathbf{u_2} \in \mathbf{U_1},$ perché somma di due elementi di $\mathbf{U_1},$ quindi $\mathbf{u_3} \in \mathbf{U_1} \cap \mathbf{U_3},$ $\mathbf{v} = \mathbf{u_2} +\mathbf{u_3} \in \mathbf{U_2} + (\mathbf{U_1} \cap \mathbf{U_3})$ e $P \in S_2 + (S_1 \cap S_3).$

$\supseteq \;)\;$ Se $P=[\mathbf{v} ] \in S_2 + (S_1 \cap S_3),$ allora $\mathbf{v}=\mathbf{u_2} +\mathbf{u}$ con $\mathbf{u_2} \in \mathbf{U_2}$ e $\mathbf{u} \in \mathbf{U_1} \cap \mathbf{U_3}.$
Poiché $\mathbf{U_2} \subseteq \mathbf{U_1},$ $\mathbf{u_2} \in \mathbf{U_1}$ e quindi $\mathbf{v} =\mathbf{u_2} +\mathbf{u} \in \mathbf{U_1},$ cioè $P \in S_1.$ Inoltre $\mathbf{v} = \mathbf{u_2} + \mathbf{u} \in \mathbf{U_2} + \mathbf{U_3},$ cioè $P \in S_2 + S_3.$ Quindi $P \in S_1 \cap (S_2 +S_3).$