Soluzione
Siano $H=\mathbf{P(W)}$ ed $S=\mathbf{P(U)},$ con $\mathbf{W}$ ed $\mathbf{U}$ sottospazi vettoriali di $\mathrm{K}^{n+1}$ tali che $\mathbf{W}=<\mathbf{v_1}, \ldots, \mathbf{v_n}>$ con $\mathbf{v_1}, \ldots, \mathbf{v_n}$ linearmente indipendenti e $\dim \mathbf{U}=s+1.$
Se $S \not\subset H,$ allora $\mathbf{U} \not\subset \mathbf{W},$ quindi esiste un vettore $\mathbf{u} \in \mathbf{U},$ $\mathbf{u} \not\in \mathbf{W}.$ Pertanto $(\mathbf{v_1}, \ldots, \mathbf{v_n},\mathbf{u})$ è una base per $\mathrm{K}^{n+1},$ quindi $\mathbf{U}+\mathbf{W}=\mathrm{K}^{n+1},$ cioè, per la formula di Grassmann vettoriale, $\dim (\mathbf{W} \cap \mathbf{U} )=n+s+1-(n+1)=s;$ pertanto

\begin{displaymath}\dim (H \cap S)=\dim \mathbf{P(W \cap U)}=s-1.\end{displaymath}

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