Soluzione
Proviamo tale disuguaglianza per induzione su $m.$
Per $m=2$ la disuguaglianza è soddisfatta, infatti (corollario 25) $\dim (S_1 \cap S_2) \geq \dim S_1 + \dim S_2 -n.$
Ora proviamo che, supponendo che la relazione $(\ast)$ sia vera per $m-1,$ allora $(\ast)$ vale anche per $m.$ Infatti $\dim (S_1 \cap \ldots \cap S_m)= \dim ((S_1 \cap \ldots \cap S_{m-1}) \cap S_m) \geq \dim (S_1 \cap \ldots \cap S_{m-1}) + \dim S_m -n,$ e per l'ipotesi induttiva il secondo membro di tale disuguaglianza è maggiore o uguale di $(\sum _{i=1} ^{m-1} \dim S_i -((m-1)-1)n )+ \dim S_m -n= \sum _{i=1}^{m} \dim S_i - (m-1-1+1)n=\sum _{i=1}^{m} \dim S_i -(m-1)n.$
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