11.1 Siccome

\begin{displaymath}\mathsf{r} \left(\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 1 \\
3 & 2 & 5 \\
0 & -1 & -1 \\
1 & -1 & 0
\end{array}\right)=2\end{displaymath}

(sommando prima e seconda colonna, che non sono proporzionali, otteniamo la terza) possiamo affermare che si tratta di un piano affine di $\mathsf{A}^{4}(\mathbf{R})$.
Una base di $\mathbf{U}$, la sua giacitura, sarà data dai vettori che hanno coordinate, rispetto a $\mathcal{B}$, costituite dagli elementi delle prime due colonne della matrice precedente: $\mathbf{U}=<(2,3,0,1)_{\mathbcal{B}},(-1,2,-1,-1)_{\mathbcal{B}}>$.
Per trovare equazioni cartesiane imponiamo dunque (vedi proposizione 10) che

\begin{displaymath}\mathsf{r} \left(\begin{array}{ccc}
X_1-1 & 2 & -1 \\
X_2 & 3 & 2 \\
X_3-1 & 0 & -1 \\
X_4-2 & 1 & -1
\end{array}\right)=2\end{displaymath}

e a tal fine scegliamo un minore 2 × 2 non nullo della sottomatrice costituita dalle ultime due colonne e orliamo in tutti i modi possibili; otteniamo cosí le due equazioni

\begin{displaymath}\left\{\begin{array}{l}
\left\vert\begin{array}{ccc}X_1-1 & 2...
...& 3 & 2 \\
X_4-2 & 1 & -1
\end{array}\right\vert=0
\end{array}\end{displaymath}

cioè

\begin{displaymath}\left\{\begin{array}{l}
3X_1-2X_2-7X_3+4=0\\
5X_1-X_2-7X_4+9=0
\end{array} \end{displaymath}







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