7. Vogliamo trovare la formula del cambiamento di coordinate dal riferimento $\mathcal{R}$ al riferimento $\mathcal{F}$ e tal fine dobbiamo quindi calcolare le coordinate -affini- $a_1,a_2$ di $O$ nel riferimento $\mathcal{F}$ ossia le coordinate $a_1,a_2$ del vettore $\overrightarrow{FO}=(0,0)-(1,-2)=(-1,2)$ rispetto alla base $\mathcal{C}$.
A questo punto potremmo procedere risolvendo il sistema nelle incognite $a_1,a_2$ $\;\;$ $(-1,2)=a_1\mathbf{w_1}+ a_2 \mathbf{w_2}$.

In questo caso la risoluzione è immediata, ma questa non è la strada piú indicata per risolvere il nostro problema; infatti in ogni caso dobbiamo trovare la matrice $\mathrm{M}_{\mathcal{C}\mathcal{E}}(id_{\mathbf{R}^2})\in\mathrm{M}_{2,2}(\mathbf{K})$ di passaggio dalla base canonica alla base $\mathcal{C}$, e tale matrice ci permette di trovare le coordinate di ogni vettore di $\mathbf{R}^2$ rispetto a $\mathcal{C}$ note le coordinate rispetto a $\mathcal{E}$, in particolare ci permette di trovare le coordinate del vettore $\overrightarrow{FO}$.
Come sempre in questi casi si scrive la matrice $\mathrm{M}_{\mathcal{E}\mathcal{C}}(id_{\mathbf{R}^2})$ e questo è imediato:

\begin{displaymath}\mathrm{M}_{\mathcal{E}\mathcal{C}}(id_{\mathbf{R}^2})=\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\ 1 & -2 \end{array}\right) \end{displaymath}

e si utilizza poi il fatto che $\mathrm{M}_{\mathcal{C}\mathcal{E}}(id_{\mathbf{R}^2})=(\mathrm{M}_{\mathcal{E}\mathcal{C}}(id_{\mathbf{R}^2}))^{-1}$.
L'inversa risulta essere

\begin{displaymath}\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{array}\right) \end{displaymath}

e di qui troviamo le coordinate di $\overrightarrow{FO}$ rispetto a $\mathcal{C}$:

\begin{displaymath}\left(\begin{array}{cc}1 & 0\\ \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \e... ...)=\left(\begin{array}{c} -1 \\ -\frac{3}{2} \end{array}\right)\end{displaymath}

per cui potremo dire che le equazioni cercate sono

\begin{displaymath}\left\{\begin{array}{l} y_1=x_1-1 \\ y_2=\frac{1}{2}x_1-\frac{1}{2}x_2-\frac{3}{2} \end{array}\right. \end{displaymath}

Facciamo una verifica: prendiamo ad esempio il punto $G=(2,4)$, esso ha coordinate rispetto al riferimento standard $(2,4)$ e tramite le formule trovate sopra otteniamo che le coordinate rispetto a $\mathcal{F}$ sono $(1,-\frac{5}{2})$; verifichiamo direttamente che il vettore $\overrightarrow{FG}=(1,6)$ ha tali coordinate rispetto alla base $\mathcal{C}$; cioè deve valere

\begin{displaymath}\left(\begin{array}{c}1 \\ 6 \end{array}\right)=1\left(\begi... ...frac{5}{2}\left(\begin{array}{c}\;\;0 \\ -2 \end{array}\right)\end{displaymath}

e cosí è.



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