5.2
$\Rightarrow$) Se $f:\; \mathbf{V}_{\mathsf{a}} \longrightarrow
\mathbf{V}'_{\mathsf{a}}$ è isomorfismo affine allora $\Phi(f):\;\mathbf{V}\longrightarrow\mathbf{V}'$ è isomorfismo di $\mathbf{K}$-spazi vettoriali per la proposizione 4 della sezione "Applicazioni affini".

$\Leftarrow$) Viceversa se $\varphi:\;\mathbf{V}\longrightarrow\mathbf{V}'$ è isomorfismo di $\mathbf{K}$-spazi vettoriali affermiamo anche che la stessa $\varphi:\;\mathbf{V}_{\mathsf{a}}\longrightarrow\mathbf{V}'_{\mathsf{a}}$ è isomorfismo di spazi affini (ricordiamo che insiemisticamente $\mathbf{V}$ e $\mathbf{V}_\mathsf{a}$ coincidono).
Infatti, se $\mathbf{v},\mathbf{w}\in\mathbf{V}$, allora $\overrightarrow{\varphi(\mathbf{v})\varphi(\mathbf{w})}=\varphi(\mathbf{w})-\va...
...mathbf{v})=\varphi(\mathbf{w}-\mathbf{v})=\varphi(\overrightarrow{\mathbf{vw}})$.



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