22. Poiché $\mathsf{Aff}_{\mathbf{K}}(\mathcal{A})\subseteq\mathsf{P}_{\mathcal{A}}$ l'insieme di tutte le permutazioni di $\mathcal{A}$ che è gruppo rispetto alla composizione, basterà dimostrare che $\mathsf{Aff}_{\mathbf{K}}(\mathcal{A})$ ne è sottogruppo, cioè dobbiamo dimostare cheLa dimostrazione di questi punti è identica nella sostanza a quella di esercizio 6 a cui rimandiamo.

Per dimostrare che $\mathsf{Aff}_{\mathbf{K}}(\mathcal{A})$ non è commutativo se $\mathsf{dim}\mathcal{A}\geq 2$ possiamo sfruttare il fatto che $\mathsf{GL}(\mathbf{V})$ non è commutativo se $n=\mathsf{dim}\mathbf{V}\geq 2 $ (infatti è isomorfo a $\mathsf{GL}_{n}(\mathbf{K})$ in cui l'operazione gruppale è la moltiplicazione di matrici e sappiamo immediatamente trovare controesempi di matrici invertibili $2\times 2$ che non commutano.
Ora, scelti $\varphi,\psi \in\mathsf{GL}(\mathbf{V})$ tali che $\varphi\circ\psi\neq\psi\circ\varphi$ e $f,g \in\mathsf{Aff}_{\mathbf{K}}(\mathcal{A})$ tali che $\Phi(f)=\varphi$ e $\Phi(g)=\psi$ -scelta certamente possibile (vedi conclusioni successive a teorema 7)- affermiamo che $f\circ g\neq g\circ f$ infatti ove la prima uguaglianza è conseguenza della prima parte di questo esercizio -esattamente come in esercizio 6- (si noti per inciso che essa ci dice che $\Phi$ è un epimorfismo di gruppi).
A questo punto concludiamo che $f\circ g$ e $g\circ f$ sono diversi in quanto hanno parti lineari diverse.