22.
Poiché
l'insieme di tutte le permutazioni di
che è gruppo rispetto alla composizione, basterà dimostrare che
ne è sottogruppo, cioè dobbiamo dimostare che
- se
allora anche
ci sta;
- se
allora anche
;
-
.
La dimostrazione di questi punti è identica nella sostanza a quella di esercizio 6 a cui rimandiamo.
Per dimostrare che
non è commutativo se
possiamo sfruttare il fatto che
non è commutativo se
(infatti è isomorfo a
in cui l'operazione gruppale è la moltiplicazione di matrici e sappiamo immediatamente trovare controesempi di matrici invertibili
che non commutano.
Ora, scelti
tali che
e
tali che
e
-scelta certamente possibile (vedi conclusioni successive a teorema 7)- affermiamo che
infatti
ove la prima uguaglianza è conseguenza della prima parte di questo esercizio -esattamente come in esercizio 6- (si noti per inciso che essa ci dice che
è un epimorfismo di gruppi).
A questo punto concludiamo che
e
sono diversi in quanto hanno parti lineari diverse.