6.
  1. $id_{\mathcal{A}}:\;\mathcal{A}\longrightarrow\mathcal{A}$ è isomorfismo affine, infatti $\overrightarrow{id_{\mathcal{A}}(P)id_{\mathcal{A}}(Q)}=\overrightarrow{PQ}=id_{\mathbf{V}}(\overrightarrow{PQ})\;\;\forall P,Q \in \mathcal{A}$ e certamente è un automorfismo di ; si noti per inciso che abbiamo dimostrato che $\Phi(id_{\mathcal{A}})=id_{\mathbf{V}}$.
  2. Sia $f:\; \mathcal{A} \;\longrightarrow \; \mathcal{A}'$ isomorfismo affine; affermiamo che $f^{-1}:\; \mathcal{A}' \;\longrightarrow \; \mathcal{A}$ è isomorfismo affine e concludiamo (si noti che $f^{-1}$ esiste perché $f$ è biunivoca per ipotesi). Siano $P',Q' \in \mathcal{A}'$, poniamo $P:=f^{-1}(P')$ cioè $f(P)=P'$ e $Q:=f^{-1}(Q')$ cioè $f(Q)=Q'$.
    Poiché $f$ è applicazione affine potremo scrivere $ \overrightarrow{P'Q'}=\overrightarrow{f(P)f(Q)}=\varphi(\overrightarrow{PQ})$ ove $\varphi:=\Phi(f)$ è biunivoca; in particolare potremo dire che $\varphi ^{-1}(\overrightarrow{P'Q'})=\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{f^{-1}(P')f^{-1}(Q')}$ e concludiamo ricordando che, dall'algebra lineare, l'inverso di un isomorfismo di $\mathbf{K}$-spazi vettoriali è ancora tale. Si noti per inciso che abbiamo dimostrato che $\Phi(f^{-1})=\Phi(f)^{-1}$.
  3. Siano $f:\; \mathcal{A} \;\longrightarrow \; \mathcal{A}'$ e $g:\; \mathcal{A}' \;\longrightarrow \; \mathcal{A}''$ isomorfismi affini rispettivamente con parti lineari $\varphi,\psi$. Affermiamo che $g\circ f:\; \mathcal{A} \;\longrightarrow \; \mathcal{A}''$ è isomorfismo affine; dati infatti $P,Q \in \mathcal{A}$ si ha che: $\overrightarrow{(g \circ f)(P)(g \circ f)(Q)}=\overrightarrow{g ( f(P))g ( f(Q)... ...})=\psi(\varphi(\overrightarrow{PQ}))=(\psi \circ \varphi)(\overrightarrow{PQ})$ e siccome sappiamo dall'algebra lineare che $\psi \circ \varphi:\;\mathbf{V}\longrightarrow\mathbf{V}''$ è isomorfismo di $\mathbf{K}$-spazi vettoriali possiamo concludere. Si noti ancora che abbiamo dimostrato che $\Phi(g \circ f)=\Phi(g)\circ\Phi(f)$.