.

9.
$\Rightarrow$ ) Se $\mathcal{S} \subseteq \mathcal{T}$ certamente $\mathcal{S} \cap \mathcal{T} \neq \emptyset$ -ricordiamo che un sottospazio affine non è mai vuoto (vedi esercizio 2.3 della sezione corrente); dimostriamo che

: se

(per la corrispondenza esaminata in osservazione 8 di questa sezione); ma per ipotesi

allora

(esercizio 2.1 di questa sezione)

$\Leftarrow$ ) Sia $L \in \mathcal{S} \cap \mathcal{T}$ ; allora potremo scrivere $\mathcal{S}=\mathsf{S}(L,\mathbf{U})$ e $\mathcal{T}=\mathsf{S}(L,\mathbf{W})$ (si è utilizzato il contenuto di esercizio 2.4); sia $M \in \mathcal{S}\;\;\Rightarrow \;\;\stackrel{\displaystyle{\longrightarrow}}{LM}\;\in \mathbf{U} \subseteq \mathbf{W}\;\;\Rightarrow\;\;M \in \mathcal{T}.$