2. ESERCIZI

2.1 Sia sottospazio affine di ; siano , dimostrare che
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2.2 Sia $\mathcal{S}=\mathsf{S}(P,\mathbf{U})$ sottospazio affine di $\mathcal{A}$; dimostrare che

\begin{displaymath}\mathbf{U}\;=\;\{\stackrel{\displaystyle{\longrightarrow}}{MN},\;\;M,N\in \mathbf{S}\}\end{displaymath}

in particolare $\mathbf{U}$ è univocamente determinato da $\mathcal{S}$ per cui si potrà parlare della giacitura di $\mathcal{S}$; essa verrà denotata col simbolo $\mathsf{giac}\mathcal{S}.$
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2.3 Sia $\mathcal{S}=\mathsf{S}(P,\mathbf{U})$ sottospazio affine di $\mathcal{A}$; dimostrare che $P \in \mathcal{S}$ e ciò giustifica la dicitura " $\mathcal{S}$ passante per $P$".
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2.4 Dato sottospazio affine di , abbiamo fatto vedere in esercizio 2.2 che è univocamente determinato da e in esercizio 2.3 che .
D'altra parte, come suggerito dalla dicitura "sottospazio passante per ", ci possiamo aspettare, in generale, che non sia univocamente determinato da e che ogni altro punto giochi lo stesso ruolo (perché "in generale"? in quale caso $P$ è univocamente determinato da ).

A tal proposito si dimostri che vale

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2.5 Sia $\mathcal{A}$ spazio affine e $\mathcal{S}=\mathsf{S}(P,\mathbf{U})$ e $\mathcal{T}=\mathsf{S}(Q,\mathbf{W})$ sottospazi affini di $\mathcal{A}$, vale:

\begin{displaymath}\mathcal{S}=\mathcal{T}\;\;\Leftrightarrow\;\;\mbox{\lq\lq }\mathb... ...athrm{e}\;\; \mathcal{S}\cap\mathcal{T}\neq\emptyset \mbox{''}\end{displaymath}

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