13.1 Sappiamo che ne esiste una e una sola nel momento in cui $P_1,P_2,P_3$ sono indipendenti -e cosí è, infatti i vettori $\overrightarrow{P_1 P_2}=(-1,2)$ e $\overrightarrow{P_1 P_3}=(1,2)$ sono indipendenti non essendo proporzionali- e avrà equazioni del tipo

\begin{displaymath}\left\{\begin{array}{c}
y_1=a_{11}x_1+a_{12}x_2+c_1 \\
y_2=a_{21}x_1+a_{22}x_2+c_2
\end{array}\right. \end{displaymath}

con ovvio significato dei simboli.
In particolare poiché $f(P_1)=Q_1$ si dovrà avere che

\begin{displaymath}\begin{array}{l}
1=-a_{11}+a_{12}+c_1 \\
2=-a_{21}+a_{22}+c_2
\end{array} \end{displaymath}

e dal fatto che $f(P_2)=Q_2$ segue che

\begin{displaymath}\begin{array}{l}
1=-2a_{11}+3a_{12}+c_1 \\
3=-2a_{21}+3a_{22}+c_2
\end{array} \end{displaymath}

infine utilizzando la condizione $f(P_3)=Q_3$ otteniamo

\begin{displaymath}\begin{array}{l}
5=3a_{12}+c_1 \\
1=3a_{22}+c_2
\end{array}\end{displaymath}

Risolvendo quindi il sistema

\begin{displaymath}\left\{\begin{array}{l}
1=-a_{11}+a_{12}+c_1 \\
2=-a_{21}+a_...
...22}+c_2\\
5=3a_{12}+c_1 \\
1=3a_{22}+c_2
\end{array}\right. \end{displaymath}

nelle incognite $a_{11},a_{12},a_{21},a_{22},c_1,c_2$ otteniamo i coefficienti richiesti.
Ad esempio invertendo la matrice dei coefficienti o, molto piú velocemente, tramite l'eliminazione di Gauss di trova $a_{11}=2,a_{12}=1,a_{21}=-1,a_{22}=0,c_1=2,c_2=1$.



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