Esame virtuale sulle forme bilineari

Domanda n. 1

Data una forma quadratica tale che $q(\mathbf{v})=5$, quale delle seguenti affermazioni è vera?

$q(3\mathbf{v})=15$
$q(3 \mathbf{v})=45$
$q(3\mathbf{v})=75$
$q(3 \mathbf{v})=9$


 

Domanda n. 2

Preso $\mathbf{v}\in\mathbf{V}$ isotropo, quale di queste affermazioni è falsa?

$\mathbf{v}\perp\mathbf{w}, \quad \forall\mathbf{w}\in\mathbf{V}$
$\lambda \mathbf{v}$ è isotropo
$\mathbf{V}=<\mathbf{v}>\oplus \,\mathbf{v}^{\perp}$
non si può determinare il coefficiente di Fourier di $\mathbf{v}$ rispetto ad un vettore $\mathbf{w}\in\mathbf{V}$


 

Domanda n. 3

Data una funzione $f\in Bil(\mathbf{V})$,

$f$ è sempre diagonalizzabile
$f$ è diagonalizzabile se è simmetrica
se $f \in Bils(\mathbf{V})$, allora esiste una unica base $\mathcal{C}$ diagonalizzante per $f$
$\forall \mathbf{W} \subsetneq \mathbf{V}$, $f \mid_{\mathbf{W}}$ è sempre diagonalizzabile


 

Domanda n. 4

Quale di queste affermazioni è vera?
Data $\mathcal{C}$ base di $\mathbf{V}$ diagonalizzante per $f \in Bils(\mathbf{V})$,

$Mat(f,\mathcal{D})$, ove $\mathcal{D}=\frac{\mathcal{C}}{\lambda}$, con $\lambda\neq 0$, è diagonale
$Mat(f,\mathcal{D})=(M_{\mathcal{C,D}}(id))^{t}Mat(f,\mathcal{C})M_{\mathcal{C,D}}(id)$ è diagonale se $M_{\mathcal{C,D}}(id)$ è invertibile, $\forall$ base $ \mathcal{D}$
$Mat(f,\mathcal{D})=\lambda^2 Mat(f,\mathcal{C})$, se $\mathcal{D}=\lambda ^2 \mathcal{C}$, con $\lambda\neq 0$
se $\mathcal{C}=(\mathbf{w}_{1},\ldots,\mathbf{w}_{n})$, allora $f(\mathbf{w}_{i},\mathbf{w}_{j})=\delta_{ij}$, con $\delta_{ij}$ simbolo di Kronecker


 

Domanda n. 5

Esistono sempre basi ortonormali per uno spazio euclideo, perché

il prodotto scalare $\cdot$ su $\mathbf{E}$ è definito positivo
il prodotto scalare $\cdot$ su $\mathbf{E}$ è simmetrico, quindi esiste sempre una base diagonalizzante per $\cdot$ che si può normalizzare
la matrice associata al prodotto scalare $\cdot$ è la matrice identità per ogni base di $\mathbf{E}$
per il teorema di Sylvester, esiste sempre una base $\mathcal{C}$ di $\mathbf{E}$ tale che $Mat(\cdot,\mathbf{E})=I_{n}$


 

Domanda n. 6

Data su $\mathbf{R}^{n}$ con il prodotto scalare standard la formula
$\vert\vert(x_{1},\ldots,x_{n})_{\mathcal{B}}\vert\vert=\sqrt{x_{1}^2+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}$,
possiamo affermare che:

è vera se $\mathbf{x}$ è un vettore non isotropo
presa $\mathcal{E}$ base canonica, è vera se $M_{\mathfrak{E,B} }(id)$ è ortogonale
è vera se e solo se $\mathcal{B}$ è la base canonica
è sempre vera per qualsialsi base $\mathcal{B}$ di $\mathbf{R}^{n}$, perché abbiamo un prodotto scalare


 

Domanda n. 7

Sia $\mathbf{W}\subset\mathbf{E}$ spazio euclideo, allora

preso $\mathbf{v}\in\mathbf{E}$, posso calcolare la proiezione di $\mathbf{v}$ su $\mathbf{W}$ solo se $\mathbf{v}$ è non isotropo
è sempre vero che $\mathbf{E}=\mathbf{W}\oplus\,\mathbf{W}^{\perp}$
il vettore proiezione ortogonale di un vettore $\mathbf{v}$ su $\mathbf{W}$ è dato dal coefficiente di Fourier di $\mathbf{v}$ rispetto a $\mathbf{W}$
preso $\mathbf{w}\in\mathbf{W}$, vale la formula

$\mathbf{w}=(\mathbf{w}\cdot\mathbf{e}_{1})\mathbf{e}_{1}+\cdots+(\mathbf{w}\cdot \mathbf{e}_{t})\mathbf{e}_{t}$
se e solo se $(\mathbf{e}_{1},\ldots,\mathbf{e}_{t})$ formano una base ortonormale per $\mathbf{W}$


 

Domanda n. 8

Gli endomorfismi unitari $f:\mathbf{E}\rightarrow\mathbf{E}$ con $\mathbf{E}$spazio euclideo,

portano sempre basi ortonormali in basi ortonormali
portano sempre basi diagonalizzanti in basi diagonalizzanti
portano ogni vettore di una base nella sua norma
portano sempre basi qualsialsi di $\mathbf{E}$ in basi ortonormali di $\mathbf{E}$


 

Domanda n. 9

La matrice associata ad un endomorfismo unitario:

è simmetrica
ha sempre determinante uguale a 1
è sempre ortogonale
ha determinante 1 se l'endomorfismo è simmetrico, -1 se è antisimmetrico


 

Domanda n. 10

Un operatore aggiunto $f$ di $g$:

è sempre anche autoaggiunto perché $(g^{*})^{*}=f$
è autoaggiunto se $M_{\mathcal{B}}(f)$ è simmetrica
è autoaggiunto se $M_{\mathcal{B}}(f)$ è ortogonale
è autoaggiunto se $M_{\mathcal{B}}(f)$ è simmetrica con $\mathcal{B}$ base ortonormale

 


 
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