Soluzione

a)
Dobbiamo diagonalizzare la forma $f$:
prendiamo un vettore $\mathbf{v}_{1}$ non isotropo, ad esempio $\mathbf{v}_{1}=(0,0,1)$ e calcoliamo il suo sottospazio ortogonale:

\begin{displaymath}\mathbf{v}_{1}^{\perp}=\{ (x,y,z)\in\mathbf{R}^3 \vert \,\beg... ...{array} \begin{array}({c}) x\\ y\\ z \end{array}=0 \}= \end{displaymath}


\begin{displaymath}=\{ (x,y,z)\in\mathbf{R}^3 \vert \, z=0 \}, \end{displaymath}

da cui otteniamo $\mathbf{v}_{1}^{\perp}=<(1,0,0),(0,1,0)>$. Scegliamo ora uno dei due vettori che generano il sottospazio ortogonale, ad esempio $\mathbf{v}_{2}=(1,0,0)$, e procediamo in modo analogo:

\begin{displaymath}\mathbf{v}_{2}^{\perp}=\{ (x,y,z)\in\mathbf{R}^3 \vert \,\beg... ...{array} \begin{array}({c}) x\\ y\\ z \end{array}=0 \}= \end{displaymath}


\begin{displaymath}=\{ (x,y,z)\in\mathbf{R}^3 \vert \, 3x-y=0 \}. \end{displaymath}

Risolvendo il seguente sistema, otteniamo il terzo vettore della base diagonalizzante per $f$:

\begin{displaymath}\left\{\begin{array}{l} z=0\\ y=3x \end{array}\right. , \end{displaymath}

per cui $\mathbf{v}_{3}=(1,3,0)$. Trovata la base diagonalizzante $\mathcal{D}=((0,0,1),(1,0,0),(1,3,0))$, determiniamo la matrice diagonale congruente a $Mat(f,\mathcal{E})$:

\begin{displaymath}Mat(f,\mathcal{D})=(M_{\mathcal{E,D}}(id_{\mathbf{R}^3}))^{t}... ...}({ccc}) 1 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 6 \end{array}. \end{displaymath}

La forma $f$ ha quindi tre autovalori positivi, perciò la sua segnatura è (3,0); questo implica anche che non può esistere una base $\mathcal{B}$ richiesta come sopra perché, per qualsialsi base $\mathcal{F}$ di $\mathbf{R}^3$, $Mat(f,\mathcal{F})$ appartiene alla classe di congruenza di $I_{3}$, essendo $f$ un prodotto scalare.
b)
Risolviamo questo punto con un semplice prodotto di matrici:

\begin{displaymath}Mat(f,\mathcal{C})=(M_{\mathcal{E,C}}(id_{\mathbf{R}^3}))^{t}Mat(f,\mathcal{E})M_{\mathcal{E,C}}(id_{\mathbf{R}^3})= \end{displaymath}


\begin{displaymath}=\begin{array}({ccc}) 0 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 ... ...}({ccc}) 0 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}= \end{displaymath}


\begin{displaymath}=\begin{array}({ccc}) 1 & 1 & 0\\ 1 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{array}. \end{displaymath}