La matrice associata a
rispetto alla base canonica è:
- a)
- Applicando il criterio dei minori principali , dobbiamo verificare che tutti i minori principali siano positivi, quindi
;
;
;
allora, essendo
una forma definita positiva, è un prodotto scalare.
Applichiamo ora il metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schmidt partendo dalla base canonica di
:
,
poiché
,
allora si ha:
,
;
e, poiché
,
si ha:
,
;
e, poiché
,
si ha:
Allora la base
è ortonormale per .
- b)
- Cerchiamo i generatori di
rispetto alla base canonica:
;
allora
.
Quindi
e ciò implica che
.
Dobbiamo perciò trovare un vettore
tale che
Avremo:
da cui si ottiene che
è determinato dall'equazione ,
mentre
è dato dall'equazione .
Quindi, risolvendo il sistema
otteniamo, ad esempio
,
da cui si ha
Potevamo risolvere l'esercizio anche calcolando le coordinate dei vettori
rispetto alla base ortonormale
,
e eseguendo gli stessi passaggi usando la matrice identità al posto di ,
semplificando notevolmente i calcoli.
Attenzione però, in questo modo si otteneva un vettore
espresso rispetto alla base
(e non rispetto a quella canonica come nello svolgimento precedente).