Soluzione5

Soluzione

a)
Dobbiamo diagonalizzare :
prendiamo un vettore non isotropo, ad esempio $\mathbf{v}_{1}=(1,0,0)$ , e calcoliamo il suo sottospazio ortogonale:

$\begin{displaymath}\mathbf{v}_{1}^{\perp}=\{ (x,y,z)\in\mathbf{R}^3 \vert \,\beg... ...{array} \begin{array}({c}) x\\ y\\ z \end{array}=0 \}= \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=\{ (x,y,z)\in\mathbf{R}^3 \vert \, 3x+z=0 \}, \end{displaymath}$

da cui si ha: $\mathbf{v}_{1}^{\perp}=<(1,0,-3),(0,1,0)>$ . Scegliamo come secondo vettore $\mathbf{v}_{2}=(0,1,0)$ e procediamo in modo analogo:

$\begin{displaymath}\mathbf{v}_{2}^{\perp}=\{ (x,y,z)\in\mathbf{R}^3 \vert \,\beg... ...{array} \begin{array}({c}) x\\ y\\ z \end{array}=0 \}= \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=\{ (x,y,z)\in\mathbf{R}^3 \vert \, y=0 \}. \end{displaymath}$

Il terzo vettore della base diagonalizzante è dato dall'intersezione dei sottospazi ortogonali ai primi due vettori:

$\begin{displaymath}\left \{\begin{array}{l} z=-3x\\ y=0 \end{array}\right. , \end{displaymath}$

perciò otteniamo che $\mathbf{v}_{3}=(1,0,-3)$ . Trovata la base diagonale $\mathcal{B}$ cercata, diagonalizziamo :

$\begin{displaymath}Mat(f,\mathcal{B})=(M_{\mathcal{E,B}}(id_{\mathbf{R}^3}))^{t}... ...({ccc}) 3 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & -12 \end{array} \end{displaymath}$

. La segnatura di è (2,1) e la sua forma canonica diventa: $x_{1}^2+x_{2}^2-x_{3}^2$ .
Inoltre non è un prodotto scalare, ma una forma indefinita.
b)
Troviamo i vettori che generano $\mathbf{U}$ :
$\mathbf{U}=\{ (x,y,z)\in\mathbf{R}^3 \vert \, x=2y+z \}=$ $=\{ (2y+z,y,z)\in\mathbf{R}^3 \vert \, y,z \in\mathbf{R} \}=<(1,0,1),(2,1,0)>$ .
Il sottospazio vettoriale $\mathbf{U}^{\perp}$ è dato dall'intersezione dei sottospazi ortogonali ai vettori che generano $\mathbf{U}$ , quindi

$\begin{displaymath}\mathbf{v}_{1}^{\perp}=\{ (x,y,z)\in\mathbf{R}^3 \vert \,\beg... ...{array} \begin{array}({c}) x\\ y\\ z \end{array}=0 \}= \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=\{ (x,y,z)\in\mathbf{R}^3 \vert \, x=0 \}; \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\mathbf{v}_{2}^{\perp}=\{ (x,y,z)\in\mathbf{R}^3 \vert \,\beg... ...{array} \begin{array}({c}) x\\ y\\ z \end{array}=0 \}= \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}=\{ (x,y,z)\in\mathbf{R}^3 \vert \, 6x+3y+2z=0 \}; \end{displaymath}$

perciò dallo spazio delle soluzioni del sistema

$\begin{displaymath}\left\{\begin{array}{l} x=0\\ 6x+3y+2z=0 \end{array}\righ... ...\left\{\begin{array}{l} x=0\\ 3y=-2z \end{array}\right. . \end{displaymath}$

Quindi una base per il sottospazio vettoriale $\mathbf{U}^{\perp}$ di dimensione 1 è $\mathcal{C}=(0,-2,3)$ .