Esercizi

3.
Si provi che nello spazio vettoriale euclideo $\mathbf{R}^3$ con il prodotto scalare standard, il sottoinsieme
$S:=\{ \mathbf{v}\in \mathbf{R}^3 \, / \, \vert\vert\mathbf{v}\vert\vert=1\}$
non è un sottospazio vettoriale.

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Soluzione
L'insieme non è un sottospazio vettoriale, ad esempio perché non è chiuso rispetto alla moltiplicazione, cioè:
preso $\mathbf{w}\in S, \, \exists \alpha \in \mathbf{R}\,$ tale che $\,\alpha\mathbf{w}\notin S$;
infatti per $\alpha \neq \pm 1, \quad \vert\vert\alpha\mathbf{w}\vert\vert=\vert\alpha\vert \, \vert\vert\mathbf{w}\vert\vert=\vert\alpha\vert \cdot 1=\vert\alpha\vert, \,$ quindi $\alpha\mathbf{w} \notin S$.