Esercizi

3.
Determinare un prodotto scalare per cui $\mathcal{D}=((1,1,0),(0,-1,2),(0,0,1))$ è una base ortonormale.

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Soluzione
Se $\mathcal{D}$ è una base ortonormale per un prodotto scalare $f$, allora la matrice associata sarà la matrice identità, quindi
$Mat(f,\mathcal{D})=I_{3}$.
Prendiamo la base canonica $\mathcal{E}$ e calcoliamo
$Mat(f,\mathcal{E})=(M_{\mathfrak{D,E} }(id_{\mathbf{R}^4}))^{t}Mat(f,\mathcal{D... ...= \begin{array}({ccc}) 6 & -5 & -2\\ -5 & 5 & 2\\ -2 & 2 & 1 \end{array}$; allora $f(\mathbf{x},\mathbf{y})=6x_{1}y_{1}+5x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}-5x_{1}y_{2}-5x_{2}y_{1}-2x_{1}y_{3}-2x_{3}y_{1}+2x_{2}y_{3}-2x_{3}y_{2}$.