Dimostrazione.
Sia $ A= M_{\mathcal{B}}(f), \quad \mathbf{v}=(x_{1},\ldots,x_{n})_{\mathcal{B}}, \, \mathbf{w}=(y_{1},\ldots,y_{n})_{\mathcal{B}}$
$f(\mathbf{v}) \cdot \mathbf{w} = (AX)^{t}Y= X^{t}A^{t}Y$
$f(\mathbf{w}) \cdot \mathbf{v} = X^{t}(AY)= X^{t}AY$
Si avrà:
$f$ simmetrica $\Leftrightarrow X^{t}A^{t}Y=X^{t}AY, \quad \forall X,Y \Leftrightarrow A^{t}=A \Leftrightarrow A $ è simmetrica.
c.v.d.