Dimostrazione.
Consideriamo una base $\mathcal{B}$ di $\mathbf{V}$ e una base $\mathcal{C}$ di $\mathbf{U}$ e chiamiamo $C$ la matrice le cui righe sono formate dai vettori $[c_{1}]_{\mathcal{B}}, \ldots , [c_{p}]_{\mathcal{B}}$ (se per $\mathcal{C}$ prendiamo $p$ vettori della base di $\mathbf{V}$ queste operazioni si semplificano molto).
Il sottospazio $\mathbf{U}^{\perp}$ è lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo $ C \times Mat(f,\mathcal{B}) \times X = 0 $ , la cui matrice dei coefficienti è la matrice $p \times n: \quad C \times Mat(f,\mathcal{B})$.
Tale matrice ha rango $p$, poiché $C$ è formata da $p$ vettori di $n$ coordinate linearmente indipendenti fra loro per definizione di base, mentre $Mat(f,\mathcal{B})$ è invertibile (perché $f$ non degenere) è $p < n$.
Allora lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo ha dimensione:
$n-p = \dim \, \mathbf{V} - \dim \, \mathbf{U}.$
c.v.d.