Dimostrazione.
Le applicazioni $f(\mathbf{v},*) \,$ e $ \, f(*,\mathbf{v})$ sono lineari da $\mathbf{V}$ in $K$, per definizione di forme bilineari, quindi sono in $\mathbf{V}^{*}$.
Per costruzione abbiamo che
$f(\mathbf{v},*):\mathbf{V} \rightarrow K, \qquad \qquad \qquad
f(*,\mathbf{v}):\mathbf{V} \rightarrow K$
$\qquad \mathbf{w} \rightarrow f(\mathbf{v},\mathbf{w}), \qquad \qquad \qquad
\mathbf{w} \rightarrow f(\mathbf{w},\mathbf{v})$
Quindi avremo:
$(y_{1},\ldots,y_{n})_{\mathcal{B}} \rightarrow (C^{t}A)Y, \quad \qquad \qquad

(x_{1},\ldots,x_{n})_{\mathcal{B}} \rightarrow X^{t}(AC)$;
dove $\quad C=

\begin{array}({c})

c_{1}\\

\vdots\\

c_{n}

\end{array},

\quad Y=

\begin{array}({c})

y_{1}\\

\vdots\\

y_{n}

\end{array} $ e $

\quad X^{t}=

\begin{array}({ccc})

x_{1} & \ldots &x_{n}

\end{array}

$;
poiché $X^{t}(AC)$ ha valori in $K$ avremo che
$X^{t}(AC)=(X^{t}AC)^{t}= (C^{t}A^{t})X$.
c.v.d.