Dimostrazione.
$\mathbf{V}^{\perp} = <0> \,\, \Leftrightarrow \,\, \forall \mathbf{v} \neq 0, \,
\exists \, \mathbf{w} \,$ tale che $\, f(\mathbf{v},\mathbf{w})\neq 0 \quad \Leftrightarrow \quad \forall \mathbf{v} \neq
0$ l'applicazione lineare $f(\mathbf{v},*):\mathbf{V} \rightarrow K$ non è identicamente nulla.
Sia ora $\mathcal{B}$ una base di $\mathbf{V}$ e sia $\mathbf{v}=(c_{1},\ldots,c_{n})_{\mathcal{B}}$ e $A=Mat(f,\mathcal{B})$; allora $f(\mathbf{v},*)$ non è identicamente nulla se e solo se $A\neq 0$.
Inoltre la matrice, rispetto a $\mathcal{E}$ e a $\mathcal{B}$, di $f(\mathbf{v},*)$ è $\quad C^{t}A$; quindi $\,\forall C \neq 0 \quad$ si ha $C^{t}A \neq 0, \quad$ e questo infine equivale a:
$(C^{t}A)^{t} \neq 0 \, \Leftrightarrow \, A^{t}C= AC \neq 0 \, \Leftrightarrow \,
r(A)=n$.
c.v.d.