Dimostrazione dei due teoremi.
Sia $\mathcal{C}=(\mathbf{v}_{1},\ldots,\mathbf{v}_{n})$ una base di $\mathbf{V}$ diagonalizzante per la forma; eventualmente permutando i vettori possiamo supporre:

\begin{displaymath}\textrm{se} \,\, K=\mathbf{C}, \,\, \textrm{ che } \,\,
\lef...
...v}_{i},\mathbf{v}_{i})= 0 & i=1 \geq r+1
\end{array} \right.
\end{displaymath}


\begin{displaymath}\textrm{se} \,\, K=\mathbf{R} \,\, \textrm{ che } \,\,
\left...
...{i},\mathbf{v}_{i})= 0 & i=1 \geq r+1.
\end{array} \right. .
\end{displaymath}

-
$K=\mathbf{C}: \qquad$ Siano $\alpha_{i} \in \mathbf{C}$ tali che $\alpha_{i}^{2}= a_{i}, \quad$ se $i=1,\ldots,r$.
Poniamo $\mathbf{w}_{i}= \frac{1}{\alpha_{i}}\mathbf{v}_{i}, \quad i=1,\ldots,r$;
allora si ha $f(\mathbf{w}_{i},\mathbf{w}_{i})=1 \quad $ per $\,i=1,\ldots,r$.
La base $(\mathbf{w}_{1},\ldots,\mathbf{w}_{r},\mathbf{v}_{r+1},\ldots,\mathbf{v}_{n})$ è la base $\mathcal{B}$ cercata.
-
$K=\mathbf{R} \qquad$ Siano $\beta_{i} \in \mathbf{R}$ tali che $\beta_{i}^{2}= \vert a_{i}\vert, \quad i=1,\ldots,r$.
Poniamo $\mathbf{w}_{i}= \frac{1}{\beta_{i}}\mathbf{v}_{i}, \quad i=1,\ldots,r$;

\begin{displaymath}\textrm{allora si ha } \quad
\left \{ \begin{array}{ll}
f(\...
..._{i},\mathbf{w}_{i})= 0 & i=1 \geq r+1
\end{array} \right. .
\end{displaymath}

La base $(\mathbf{w}_{1},\ldots,\mathbf{w}_{r},\mathbf{v}_{r+1},\ldots,\mathbf{v}_{n})$ è la base $\mathcal{B}$ cercata.
Nel caso $K=\mathbf{R}$, proviamo che l'intero $p$ dipende solo da $f$ e non dalla scelta della base.
Siano $\mathcal{B} \,$ e $\, \mathcal{D}$ due basi, $\mathcal{B}=(\mathbf{w}_{1},\ldots,\mathbf{w}_{n}) \,$ e $\, \mathcal{D}=(\mathbf{u}_{1},\ldots,\mathbf{u}_{n})$ tali che

\begin{displaymath}Mat(f,\mathcal{B})=
\begin{array}({ccc})
I_{p} & 0 &0\\
0 & -I_{r-p} & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}
\end{displaymath}


\begin{displaymath}Mat(f,\mathcal{D})=
\begin{array}({ccc})
I_{t} & 0 &0\\
0 & -I_{r-t} & 0\\
0 & 0 & 0
\end{array}
\end{displaymath}

con $t<p$.
Poniamo $\mathbf{S}:=<\mathbf{w}_{1},\ldots,\mathbf{w}_{p}>.$
Avremo che: $\quad f(\mathbf{v},\mathbf{v})>0, \quad \forall \mathbf{v} \in \mathbf{S} \,$ se $\, \mathbf{v} \neq 0$.
Infatti se $\mathbf{v} \in \mathbf{S} \,$ allora $ \quad \mathbf{v}= \sum_{i=1}^{p}\gamma_{i}\mathbf{w}_{i}$ e
$f(\gamma_{1}\mathbf{w}_{1}+\cdots+\gamma_{p}\mathbf{w}_{p},\gamma_{1}\mathbf{w}_{1}+\cdots+\gamma_{p}\mathbf{w}_{p})= \gamma_{1}^{2}+\cdots+ \gamma_{p}^{2} >0$.
Analogamente, se $\mathbf{T}:=<\mathbf{u}_{t+1},\ldots,\mathbf{u}_{n}>, \,$ allora $\,\, f(\mathbf{v},\mathbf{v}) \leq 0, \quad \forall \mathbf{v} \in \mathbf{T}$.
Per assurdo, se $p \neq t$, avremo che $\,\, p+(n-t)=n+(p-t)>n$, e
per Grassmann sarà: $\quad \mathbf{S} \cap \mathbf{T} \neq <0>$.
Ma se $\mathbf{v} \in (\mathbf{S} \cap \mathbf{T}) \neq <0>, \, \mathbf{v} \neq 0, $ avremmo $\,\, f(\mathbf{v},\mathbf{v})>0$ e anche $f(\mathbf{v},\mathbf{v}) < 0$, che è assurdo!
c.v.d.