Dimostrazione.
$ \forall \, a,b \in \mathbf{R}, \quad \mathbf{w} \neq 0 \,$ si ha:
1.
$0 \leq (a\mathbf{v}+b\mathbf{w})\cdot(a\mathbf{v}+b\mathbf{w})= a^{2}\mathbf{v}...
... \mathbf{v}+b^{2}\mathbf{w} \cdot \mathbf{w} +2ab \, \mathbf{v}\cdot \mathbf{w}$.
Allora se scegliamo $a=\mathbf{w} \cdot \mathbf{w}, \quad b=-\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}$, sostituendo otteniamo
$(\mathbf{w} \cdot \mathbf{w})^{2} (\mathbf{v} \cdot \mathbf{v})+(\mathbf{v} \cd...
...dot \mathbf{w})(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v})-(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})^{2})$.
Ma, $\mathbf{w} \cdot \mathbf{w} >0 \, $, perché $\mathbf{w} \neq 0 \, $ e quindi
$0 \leq (\mathbf{w} \cdot \mathbf{w})(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v})-(\mathbf{v} \cdot \mathbf{w})^{2}$.
2.
Sia $\mathbf{v}=\rho \mathbf{w}$ con $ \rho \in K$.
Sostituendo si ottiene l'uguaglianza in (2):
$\rho^{2}(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v})^{2}=\rho (\mathbf{v} \cdot \mathbf{v})\rho(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v})$.
Viceversa, se si ha l'uguaglianza nell'espressione (2), allora $\mathbf{v},\mathbf{w}$ sono linearmente dipendenti; lo si puó vedere percorrendo in senso inverso la dimostrazione del precedente punto 1. fino a dedurre:
$(a\mathbf{v}+b\mathbf{w})(a\mathbf{v}+b\mathbf{w})=0,$ che si ha solo per $ a\mathbf{v}+b\mathbf{w}=0$, e quindi se $\mathbf{v},\mathbf{w}$ sono linearmente dipendenti.
c.v.d.