Dimostrazione.
Se $n =1$, non c'è niente da dimostrare.
Procediamo per induzione su $n$, supponendo vero il teorema per $n-1$ e dimostrandolo per $n$.
Prima di procedere nella dimostrazione, vogliamo ricordare il seguente risultato di algebra lineare:

Lemma 9.2   Sia $A \in M_{n}^{s}(\mathbf{R})$, allora il suo polinomio caratteristico $p_{A}(t)$ ha almeno una radice e inoltre tutte le sue radici (come polinomio complesso) sono reali.

Per il lemma, $f$ ha almeno un autovalore $\lambda $ e sia $\mathbf{v}_{1}$ un autovettore di norma 1 relativo a $\lambda $. Sia $\mathbf{U}=\mathbf{v}_{1}^{\perp}$, cosicché $\, \dim \, \mathbf{U}=n-1$.
Inoltre $\forall \mathbf{u} \in \mathbf{U}, f(\mathbf{u}) \cdot \mathbf{v}_{1}=0$, infatti
$f(\mathbf{u}) \cdot \mathbf{v}_{1}= \mathbf{u} \cdot f(\mathbf{v}_{1})= \mathbf{u} \cdot \lambda \mathbf{v}_{1}= \lambda (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}_{1})=0$;
cioè $f(\mathbf{U}) \subset \mathbf{v}_{1}^{\perp}=\mathbf{U}$.
Ora consideriamo
$f':\mathbf{U} \rightarrow \mathbf{U}$
$\quad \mathbf{u} \rightarrow f(\mathbf{u})$
che, come abbiamo visto, è ben definito.
$f' \in End(\mathbf{U}),$ ed $ \, f'$ è simmetrico perché restrizione di $f$ a $\mathbf{U}$.
Per ipotesi induttiva $\exists \, (\mathbf{v}_{2},\ldots,\mathbf{v}_{n})$ base ortonormale di $\mathbf{U}$ composta di autovettori per $f'$, e quindi anche per $f$. Allora $(\mathbf{v}_{1},\ldots,\mathbf{v}_{n})$ sarà una base ortonormale di autovettori per $f$.
c.v.d.