Dimostrazione.
Scegliamo una base $\mathcal{E}$ per $\mathbf{V}$ e sia $A \in M_{n}(K)$ la matrice di $f$ rispetto a $\mathcal{E}$.
1. $\Rightarrow$ 2. Se $A \,$ ha rango $n$ e $ \, X \neq 0$ è il vettore delle coordinate di $\mathbf{v}$, allora $X^{t}A \neq (0 \ldots 0)$, e quindi $\exists Y \in K^{n}$ tale che $X^{t}AY \neq 0$; il vettore $ \mathbf{w}$ di coordinate $Y$ è tale che $f(\mathbf{v},\mathbf{w}) \neq 0$.
2. $\Rightarrow$ 1. Per ipotesi $\forall X \neq 0 \, \exists \, Y$ tale che $X^{t}AY \neq 0$; ciò implica $X^{t}A \neq (0,\ldots,0), \,\, \forall X \neq 0$, e questo significa che $A$ ha rango $ \, n$.
1. $\Leftrightarrow$ 3. Si dimostra in modo analogo al precedente.