Dimostrazione
Sia $f$ un endomorfismo unitario; allora:
$\vert\vert f(\mathbf{v})-f(\mathbf{w})\vert\vert = \vert\vert f(\mathbf{v}-\mathbf{w})\vert\vert= \vert\vert\mathbf{v}-\mathbf{w}\vert\vert$, e ovviamente $f(0)=0$.
Valgano ora le proprietà in 2.; allora $ \,\, \forall \mathbf{v} \in \mathbf{E}$
$\vert\vert f(\mathbf{v})\vert\vert= \vert\vert f(\mathbf{v})-f(\mathbf{0})\vert\vert=\vert\vert\mathbf{v}-\mathbf{0}\vert\vert=\vert\vert\mathbf{v}\vert\vert$.
$\vert\vert\mathbf{v}\vert\vert^{2}+\vert\vert\mathbf{w}\vert\vert^{2}-2 \mathbf...
...\vert^{2}+\vert\vert\mathbf{w}\vert\vert^{2}-2f(\mathbf{v}) \cdot f(\mathbf{w})$, e quindi
$\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = f(\mathbf{v}) \cdot f(\mathbf{w})$, cioè $f$ conserva il prodotto scalare.
Rimane da dimostrare che $f$ è lineare.
Sia $\mathcal{B}=(\mathbf{e}_{1},\ldots,\mathbf{e}_{n})$ una base ortonormale, allora $\mathcal{C}=(f(\mathbf{e}_{1}),\ldots,f(\mathbf{e}_{n}))$, per quanto visto, è una base ortonormale .
Sia $\mathbf{v} \in \mathbf{E}, \quad \mathbf{v}=\sum_{i=1}^{n} (\mathbf{v} \cdot \mathbf{e}_{i})\mathbf{e}_{i}; \,$ si ha $\, f(\mathbf{v})=\sum_{i=1}^{n} (f(\mathbf{v}) \cdot f(\mathbf{e}_{i}))f(\mathbf{e}_{i})$,
perché $\mathcal{C}$ è ortonormale, allora
$f(\mathbf{v})=\sum_{i=1}^{n} (\mathbf{v} \cdot \mathbf{e}_{i})f(\mathbf{e}_{i}) \,$ e $\, f(\mathbf{v})=f(\sum_{i=1}^{n} (\mathbf{v} \cdot \mathbf{e}_{i})\mathbf{e}_{i})$,
quindi $f$ è lineare.
c.v.d.