Esercizi

2.
Data la forma bilineare su $\mathbf{R}^2 \times \mathbf{R}^2$; sia
$\phi(\mathbf{x},\mathbf{y})=2x_{1}y_{1}-5x_{2}y_{2}+x_{2}y_{1},$
calcolare la matrice che esprime $\phi$ rispetto alla base $\mathcal{B}=((-1,1),(1,1))$, congruente a $Mat(\phi,\mathcal{E})$, attraverso la matrice cambiamento di base.
Determinare poi la matrice che esprime $\phi$ rispetto alla base $\mathcal{C}=((2,3),(1,0))$ e verificare che $Mat(\phi,\mathcal{E}) \,$ e $\, Mat(\phi,\mathcal{C})$ sono congruenti.
Perché?
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Soluzione
I passo:
Iniziamo a calcolare $Mat(\phi,\mathcal{B})$ attraverso la formula:
$Mat(\phi,\mathcal{B})= (M_{\mathcal{B,E}}(id_{\mathbf{R}^2}))^{t}Mat(f,\mathcal{E})M_{\mathcal{B,E}}(id_{\mathbf{R}^2})=$
$=\begin{array}({ccc})
-1 & 1\\
1 & 1
\end{array}
\begin{array}({ccc})
2 &...
...\
1 & 1
\end{array}
=\begin{array}({ccc})
-4& -6\\
-8 & -2
\end{array}.$

II passo:  
Calcoliamo ora i vettori-base di $\mathcal{C}$ rispetto a $\mathcal{B}$ per costruire la matrice del cambiamento di base:
$(2,3)=\frac{1}{2}(-1,1)+\frac{5}{2}(1,1)=(\frac{1}{2},\frac{5}{2})_{\mathcal{B}}$
$(1,0)=- \frac{1}{2}(-1,1)+\frac{1}{2}(1,1)=(- \frac{1}{2},\frac{1}{2})_{\mathcal{B}}$
quindi svolgendo i calcoli troveremo che
$Mat(\phi,\mathcal{C})= (M_{\mathfrak{C,B} }(id_{\mathbf{R}^2}))^{t}Mat(f,\mathcal{B})M_{\mathfrak{C,B} }(id_{\mathbf{R}^2})=$
$=\begin{array}({ccc})
\frac{1}{2} & \frac{5}{2}\\
- \frac{1}{2} & \frac{1}{2...
...\frac{1}{2}
\end{array}
=\begin{array}({ccc})
31 & 7\\
4 & 2
\end{array}.$

III passo:  

$Mat(\phi,\mathcal{E})$ e $ Mat(\phi,\mathcal{C})$ sono congruenti se e solo se esiste una matrice $M$ invertibile tale che
$Mat(\phi,\mathcal{C})=M^{t}Mat(\phi,\mathcal{E})M$.
Quindi dobbiamo verificare che, presa $M=M_{\mathcal{E,C}}(id_{\mathbf{R}^2})$, questa verifica le condizioni richieste:

\begin{displaymath}M_{\mathcal{E,C}}(id_{\mathbf{R}^2})=
\begin{array}({cc})
2 & 1\\
3 & 0
\end{array}
\end{displaymath}

è una matrice non degenere di rango massimo, quindi è invertibile;
inoltre
$Mat(\phi,\mathcal{C})= (M_{\mathfrak{C,B} }(id_{\mathbf{R}^2}))^{t}Mat(f,\mathc...
...} }(id_{\mathbf{R}^2})=
\begin{array}({cc})
-31 & 7\\
4 & 2
\end{array}.
$

IV passo:  
Le tre matrici sono fra loro congruenti poiché la congruenza, essendo una relazione di equivalenza, gode della proprietà transitiva.