Dimostrazione
$1. \Rightarrow 2.$ Ovvio, basta calcolare $\vert\vert\mathbf{v}\vert\vert=\sqrt{f(\mathbf{v}) \cdot f(\mathbf{v})}$.
$2. \Rightarrow 1.$ $\forall \mathbf{v},\mathbf{w} \in \mathbf{E} \quad \vert\vert f(\mathbf{v})+f(\...
...rt f(\mathbf{v}+\mathbf{w})\vert\vert=\vert\vert\mathbf{v}+\mathbf{w}\vert\vert$, quindi
$\vert\vert f(\mathbf{v})+f(\mathbf{w})\vert\vert^{2}=\vert\vert\mathbf{v}+\math...
...}\vert\vert^{2}+\vert\vert\mathbf{w}\vert\vert^{2}+2\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}$, e anche
$\vert\vert f(\mathbf{v})+f(\mathbf{w})\vert\vert^{2}=\vert\vert f(\mathbf{v})\v...
...\vert^{2}+\vert\vert\mathbf{w}\vert\vert^{2}+2f(\mathbf{v}) \cdot f(\mathbf{w})$; quindi
$\mathbf{v} \cdot \mathbf{w} =f(\mathbf{v}) \cdot f(\mathbf{w}), \qquad \forall \mathbf{v},\mathbf{w} \in \mathbf{E}$.
$1. \Rightarrow 3.$ Si ha: $f(\mathbf{v}_{i}) \cdot f(\mathbf{v}_{j})=\mathbf{v}_{i} \cdot \mathbf{v}_{j}= \delta_{ij}$; inoltre gli $f(\mathbf{v}_{i})$ sono tutti non nulli perché di norma 1 e ortogonali a due a due e ciò implica che sono linearmente indipendenti. Allora, essendo $n$, danno una base (ortonormale per quanto visto sopra).
$3. \Rightarrow 4.$ Ovvio.
$4. \Rightarrow 1.$ Sia $\mathcal{B}=(\mathbf{v}_{1},\ldots,\mathbf{v}_{n})$ base ortonormale e $\mathcal{C}=(f(\mathbf{v}_{1}),\ldots,f(\mathbf{v}_{n}))$.
Siano $\mathbf{v}=(a_{1},\ldots,a_{n})_{\mathcal{B}}= \sum_{i=1}^{n}a_{i}\mathbf{v}_{i...
...mathbf{w}=(b_{1},\ldots,b_{n})_{\mathcal{B}}= \sum_{i=1}^{n}b_{i}\mathbf{v}_{i}$, allora:
$ \mathbf{v} \cdot \mathbf{w}=a_{1}b_{1}+\cdots+a_{n}b_{n}$,
$f(\mathbf{v})= \sum_{i=1}^{n}a_{i}f(\mathbf{v}_{i})= (a_{1},\ldots,a_{n})_{\mat...
...f{w})= \sum_{i=1}^{n}b_{i}f(\mathbf{v}_{i})= (b_{1},\ldots,b_{n})_{\mathcal{C}}$.
Poiché per ipotesi anche $\mathcal{C}$ è ortonormale, si avrà:
$f(\mathbf{v}) \cdot f(\mathbf{w})=a_{1}b_{1}+ \cdots +a_{n}b_{n}= \mathbf{v}\cdot \mathbf{w}$
c.v.d.