Dimostrazione.
Poniamo $M_{\mathfrak{BC} }(id_{\mathbf{V}})=A$.
Ricordiamo che $O(n):= \lbrace A \in GL_{n}(K) \vert A^{t}=A^{-1} \rbrace$.
La i-esima colonna di $A$ è formata da $\mathbf{w}_{i}$, espressa nelle sue componenti rispetto a $\mathcal{B}$:
siano $\mathbf{w}_{i}=(a_{1i},\ldots,a_{ni})_{\mathcal{B}}, \qquad \mathbf{w}_{j}=(a_{1j},\ldots,a_{nj})_{\mathcal{B}}$; allora
$\mathbf{w}_{i} \cdot \mathbf{w}_{j}=a_{1i}a_{1j} + \cdots + a_{ni}a_{nj}=(a_{1i...
...y}({c})
a_{1j}\\
\vdots\\
a_{nj}
\end{array}=
A_{(i)}^{t} \cdot A_{(j)}$;
quindi $\, \mathbf{w}_{i} \cdot \mathbf{w}_{j}= \delta_{ij} \quad \Leftrightarrow \quad A_{(i)}^{t} \cdot A_{(j)}=\delta_{ij} \quad \Leftrightarrow \quad A^{t}=A^{-1}$.
c.v.d.