Se ,
non c'è niente da dimostrare.
Procediamo per induzione su ,
supponendo vero il teorema per
e dimostrandolo per .
Prima di procedere nella dimostrazione, vogliamo ricordare il seguente risultato di algebra lineare:
Lemma 9.2
Sia
,
allora il suo polinomio caratteristico
ha almeno una radice e inoltre tutte le sue radici (come polinomio complesso) sono reali.
>Per il lemma,
ha almeno un autovalore
e sia
un autovettore di norma 1 relativo a .
Sia
,
cosicché
.
Inoltre
,
infatti
;
cioè
.
Ora consideriamo
che, come abbiamo visto, è ben definito.
ed
è simmetrico perché restrizione di
a
.
Per ipotesi induttiva
base ortonormale di
composta di autovettori per ,
e quindi anche per .
Allora
sarà una base ortonormale di autovettori per .