Dimostrazione.
Poiché $\mathcal{B}$ è una base ortonormale, avremo $ \mathbf{v}_{i} \cdot \mathbf{v}_{j}= \delta_{ij}, \quad $ quindi $ \quad Mat(\cdot,\mathcal{B})=I_{n}$. Allora
$(x_{1},\ldots,x_{n})_{\mathcal{B}} \cdot (y_{1},\ldots,y_{n})_{\mathcal{B}}=X^{t}Mat(\cdot,\mathcal{B})Y= X^{t}I_{n}Y= X^{t}Y=x_{1}y_{1}+\cdots+x_{n}y_{n}$.
c.v.d.