- Dimostrazione.
- Dobbiamo dimostrare che
è lineare:
infatti
,
tali che
,
siano
e
,
allora
.
Inoltre l'applicazione
è iniettiva e suriettiva, infatti:
.
tale che
:
infatti basta prendere come base
la base canonica e
come
.
Abbiamo dimostrato che
è un isomorfismo, ora verifichiamo che soddisfa le proprietà delle forme bilineari:
poniamo
,
allora
Vediamo che a forme simmetriche corrispondono matrici simmetriche:
poiché si tratta di matrici
a valori in
,
si ha:
e per definizione abbiamo che
simmetrica se e solo se
quindi se e solo se
;
perciò
che è la definizione di matrice simmetrica.
Analogamente avremo che

.
c.v.d.