Dimostrazione.
Definiamo una applicazione
$f_{\mathbf{v}}:\mathbf{E} \rightarrow \mathbf{R}, \qquad f_{\mathbf{v}}(\mathbf{w})=f(\mathbf{v}) \cdot \mathbf{w}$
(analoga al caso delle forme bilineari).
È lineare in quanto composizione di due funzioni lineari:
$f_{\mathbf{v}}=f(\mathbf{v},*)\, \circ f$;
è unica poiché se ne esistessero due, $g \,$ e $\, g'$, si avrebbe:
$f(\mathbf{v}) \cdot \mathbf{w} = \mathbf{v} \cdot g(\mathbf{w})= \mathbf{v} \cdot g'(\mathbf{w}), \qquad \forall \mathbf{v},\mathbf{w} \in \mathbf{E}$;
allora $0=\mathbf{v} \cdot (g(\mathbf{w})-g'(\mathbf{w}))=\mathbf{v} \cdot (g-g')(\mathbf{w})$, per la linearità delle funzioni e, siccome il prodotto scalare è definito positivo, (quindi è una forma bilineare non degenere), questo implica che $g \equiv g', \quad \forall \mathbf{w} \in \mathbf{E}$.
Resta da dimostrare che $g$ è lineare :
presi $\mathbf{v},\mathbf{w},\mathbf{u} \in \mathbf{E}, \alpha, \beta \in K$, avremo che
$\mathbf{v} \cdot g(\alpha \mathbf{w} + \beta \mathbf{u})=f_{\alpha \mathbf{w} +...
...)= \alpha f(\mathbf{v}) \cdot \mathbf{w} + \beta f(\mathbf{v}) \cdot \mathbf{u}$ che, per la linearità del prodotto scalare, è uguale a
$\alpha f_{\mathbf{v}}(\mathbf{w})+ \beta f_{\mathbf{v}}(\mathbf{u})= \alpha \ma...
...dot g(\mathbf{u})= \mathbf{v} \cdot (\alpha g(\mathbf{w})+ \beta g(\mathbf{u}))$.
c.v.d.