Dimostrazione.
Verifichiamo che le due operazioni soddisfano tutte le proprietà degli spazi vettoriali: $\quad \forall \mathbf{v},\mathbf{w} \in \mathbf{V}, \quad \forall \beta, 
\gamma \in K$
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proprietà associativa:
$(f+g)(\mathbf{v},\mathbf{w})+h(\mathbf{v},\mathbf{w})= 
f(\mathbf{v},\mathbf{w})+g(\mathbf{v},\mathbf{w})+h(\mathbf{v},\mathbf{w})=$
$=f(\mathbf{v},\mathbf{w})+(g+h)(\mathbf{v},\mathbf{w})$;
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esistenza elemento neutro per la somma:
se 0 è la forma bilineare nulla, avremo che
$(f+0)(\mathbf{v},\mathbf{w})=f(\mathbf{v},\mathbf{w})+0(\mathbf{v},\mathbf
{w})=f(\mathbf{v},\mathbf{w})$;
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esistenza dell'opposto:
$f(\mathbf{v},\mathbf{w})+(-f)(\mathbf{v},\mathbf{w})= (f-
f)(\mathbf{v},\mathbf{w})=0(\mathbf{v},\mathbf{w})=0_{\mathbf{V}}$;
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proprietà commutativa:
$(f+g)(\mathbf{v},\mathbf{w})=f(\mathbf{v},\mathbf{w})+g(\mathbf{v},\mathbf
{w})=g(\mathbf{v},\mathbf{w})+f(\mathbf{v},\mathbf{w})=$
$=(g+f)(\mathbf{v},\mathbf{w})$;
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proprietà distributiva rispetto somma del prodotto per gli scalari:
$\beta (f+g)(\mathbf{v},\mathbf{w})= \beta 
(f(\mathbf{v},\mathbf{w})+g(\mathbf{v},\mathbf{w}))= \beta 
f(\mathbf{v},\mathbf{w})+ \beta g(\mathbf{v},\mathbf{w}) =$
$=(\beta f)(\mathbf{v},\mathbf{w})+ (\beta g)(\mathbf{v},\mathbf{w})$;
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proprietà distributiva rispetto agli scalari:
$(\beta + \gamma)f(\mathbf{v},\mathbf{w}) = \beta 
f(\mathbf{v},\mathbf{w})+ \gam...
...\mathbf{w})= (\beta f)(\mathbf{v},\mathbf{w})+(\gamma 
f)(\mathbf{v},\mathbf{w})$;
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elemento neutro rispetto moltiplicazione:
$(1 \cdot f)(\mathbf{v},\mathbf{w})= 1 \cdot 
f(\mathbf{v},\mathbf{w})=f(\mathbf{v},\mathbf{w})$.
c.v.d.