Dimostrazione.
Sia $\mathcal{C}=(\mathbf{v}_{1},\ldots,\mathbf{v}_{l},\mathbf{v}_{l+1},\ldots,\mathbf{v}_{t},\mathbf{v}_{t+1},\ldots,\mathbf{v}_{n})$ una base ortonormale di autovettori, tale che $\mathcal{C}_{1}=(\mathbf{v}_{1},\ldots,\mathbf{v}_{l})$ sia una base ortonormale per $\mathbf{E}_{\lambda}$, $\,\, \mathcal{C}_{2}= (\mathbf{v}_{l+1},\ldots,\mathbf{v}_{t})$ sia una base ortonormale per $\mathbf{E}_{\mu}$.
Tale base esiste perché $\mathcal{C}_{1}$ e $\mathcal{C}_{2}$ sono ortogonali fra loro in quanto basi di sottospazi ortogonali, inoltre sono ortonormali per costruzione; per completare la base ortonormale $\mathcal{C}$, basta applicare il metodo di ortogonalizzazione di Gram-Schimdt. In particolare, $\, \mathbf{v}_{i} \cdot \mathbf{v}_{j}=0, \quad i=1,\ldots,l, \quad j=l+1,\ldots,t \,$, quindi
$\mathbf{E}_{\lambda} \subset \mathbf{E}_{\mu}^{\perp}$
c.v.d.