Dimostrazione.
È analoga della dimostrazione del teorema spettrale reale, utilizzando il fatto che poiché lavoriamo su $\mathbf{C}$, c'è sempre almeno un autovalore (cosa falsa per endomorfismi unitari reali) e che, preso un autovettore $\mathbf{w}$ di $f$ e il relativo autovalore $\lambda $, eposto $\mathbf{U}=\mathbf{w}^{\perp}$; allora $\forall \mathbf{u} \in \mathbf{U}$ si ha:
$\ll f(\mathbf{u}),\mathbf{w} \gg =\ll f(\mathbf{u}),\lambda \overline{\lambda} \mathbf{w} \gg = \lambda \ll f(\mathbf{v}),\overline{\lambda}\mathbf{w} \gg = $
$=\lambda \ll f(\mathbf{u}),f(\mathbf{w}) \gg = \lambda \ll \mathbf{u},\mathbf{w} \gg =0$.