Dimostrazione.
La seguente dimostrazione suggerisce anche un metodo per la costruzione di una base ortogonale che può risultare molto utile per affrontare gli esercizi proposti.
Il procedimento base è il seguente:
Sia $\mathbf{W} \subset \mathbf{V} \,$ un $K$-spazio vettoriale di dimensione finita e sia $g \in Bils(\mathbf{W})$:
-
se $g \equiv 0$ scelgo una base qualunque $(\mathbf{u}_{1},\ldots,\mathbf{u}_{t})$ per $\mathbf{W}$;
-
altrimenti scelgo un vettore $\mathbf{w} \in \mathbf{W}$ non isotropo per $g$ e decompongo $\mathbf{W}$ nel seguente modo:
$\mathbf{W}=<\mathbf{w}> \oplus \, \mathbf{w}^{\perp(=\perp g)}$.
I passo: Applico il procedimente base a $\mathbf{V}= \mathbf{W}, \, \, g=f$: II passo: Applico il procedimento base a $\mathbf{W}_{1}=\mathbf{v}_{1}^{\perp}$ e a $g:= f\mid_{\mathbf{v}_{1}^{\perp} \times \mathbf{v}_{1}^{\perp}}$: i-esimo passo: Applico il procedimento base a $\mathbf{W}_{i-1}=\mathbf{v}_{1}^{\perp} \cap \ldots \cap \mathbf{v}_{i-1}^{\perp} \, $ e a $\, g:= f\mid_{\mathbf{W}_{i-1} \times \mathbf{W}_{i-1}}$: Dopo l'i-esimo passo, avremo $\mathbf{W}=<\mathbf{v}_{i}> \oplus \, \mathbf{v}_{i}^{\perp g}$, con
$\mathbf{v}_{i}^{\perp g} = \mathbf{v}_{i}^{\perp} \cap \mathbf{W}_{i-1}= \mathb...
...}^{\perp} \cap \ldots \cap \mathbf{v}_{i-1}^{\perp} \cap \mathbf{v}_{i}^{\perp}$ e quindi
$\mathbf{V}=<\mathbf{v}_{1}> \oplus \, \ldots \oplus \, <\mathbf{v}_{i-1}> \oplu...
...{i}> \oplus \, (\mathbf{v}_{1}^{\perp} \cap \ldots \cap \mathbf{v}_{i}^{\perp})$.
Se $r(f)=r$, con $r \leq n$, dopo $r+1$ passi mi fermo e avrò:

\begin{displaymath}\mathbf{V}=<\mathbf{v}_{1}> \oplus \, \ldots \oplus \, <\math...
...> \oplus \big( \bigcap_{i=1}^{r}\mathbf{v}_{i}^{\perp} \big)
\end{displaymath}

a so che avrò
$f \mid_{(\bigcap_{i=1}^{r}\mathbf{v}_{i}^{\perp}) \times (\bigcap_{i=1}^{r}\mathbf{v}_{i}^{\perp})}=0$.
Allora nel passo $r+1$-esimo si scieglie una base qualsialsi $\mathcal{C}=(\mathbf{u}_{r+1},\ldots,\mathbf{u}_{n})$ per $\bigcap_{i=1}^{r}\mathbf{v}_{i}^{\perp}$, quindi $\mathcal{D}= (\mathbf{v}_{1},\ldots,\mathbf{v}_{r},\mathbf{u}_{r+1},\ldots,\mathbf{u}_{n})$ è una base per $\mathbf{V}$ tale che:

\begin{displaymath}\left\{ \begin{array}{ll}
f(\mathbf{v}_{i},\mathbf{v}_{j})=0...
...bf{u}_{l} \in \mathbf{v}_{i}^{\perp}$ }.
\end{array} \right.
\end{displaymath}

c.v.d.