Dimostrazione.
Infatti $<\mathbf{v}> \cap \, \mathbf{v}^{\perp} = \, <0>$ perché $\mathbf{v}$ non è isotropo.
Basta quindi provare che $\mathbf{v}^{\perp}$ è un iperpiano vettoriale, cioè un sottospazio vettoriale di $\mathbf{V}$ di dimensione $n-1$:
sia $\mathcal{B}$ una base di $\mathbf{V}$, $\mathbf{v}=(c_{1},\ldots,c_{n})_{\mathcal{B}} \,$ e $\, A=Mat(f,\mathcal{B})$.
Avremo che $C^{t}AC \neq 0, \,$ per ipotesi, quindi $\, C^{t}A \neq 0$ e
$\mathbf{v}^{\perp}= \lbrace (x_{1},\ldots,x_{n})_{\mathcal{B}} \, \vert \, C^{t}AX= 0 \rbrace$ cioè $f(\mathbf{v},\mathbf{x})= 0$;
quindi $\mathbf{v}^{\perp}$ è individuato da una equazione cartesiana, cioè è un iperpiano vettoriale.
c.v.d.