Dimostrazione.
1.
Sia data una matrice simmetrica $A$.
Considero $\mathbf{R}^{n}$ con la base canonica e il prodotto scalare standard; sia $f \in End(\mathbf{R}^{n})$ tale che $A=M_{\mathcal{E}}(f)$. Allora $f$ è simmetrica e per il teorema spettrale esiste una base ortonormale di autovettori $\mathcal{B}$. Avremo che
$(M_{\mathcal{E,B}}(id))^{-1}AM_{\mathcal{E,B}}(id)$ è diagonale
con $\mathcal{E,B}$ basi ortonormali, quindi $M=M_{\mathcal{E,B}}(id) \in O(n)$, e $M^{-1}AM=M^{t}AM$ è una matrice diagonale.
2.
Analoga alla precedente.
c.v.d.