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Test a risposta multipla

Per ogni risposta esatta, verranno assegnati 3 punti.

1.
Data una forma quadratica tale che $q(\mathbf{v})=5$, quale delle seguenti affermazioni è vera?
a)
$q(3\mathbf{v})=15$
b)
$q(3 \mathbf{v})=45$
c)
$q(3\mathbf{v})=75$
d)
$q(3 \mathbf{v})=9$

2.
Preso $\mathbf{v}\in\mathbf{V}$ isotropo, quale di queste affermazioni è falsa?
a)
$\mathbf{v}\perp\mathbf{w}, \quad \forall\mathbf{w}\in\mathbf{V}$
b)
$\lambda \mathbf{v}$ è isotropo
c)
$\mathbf{V}=<\mathbf{v}>\oplus \,\mathbf{v}^{\perp}$
d)
non si può determinare il coefficiente di Fourier di $\mathbf{v}$ rispetto ad un vettore $\mathbf{w}\in\mathbf{V}$

3.
Data una funzione $f\in Bil(\mathbf{V})$,
a)
$f$ è sempre diagonalizzabile
b)
$f$ è diagonalizzabile se è simmetrica
c)
se $f \in Bils(\mathbf{V})$, allora esiste una unica base $\mathcal{C}$ diagonalizzante per $f$
d)
$\forall \mathbf{W} \subsetneq \mathbf{V}$, $f \mid_{\mathbf{W}}$ è sempre diagonalizzabile

4.
Quale di queste affermazioni è vera?
Data $\mathcal{C}$ base di $\mathbf{V}$ diagonalizzante per $f \in Bils(\mathbf{V})$,
a)
$Mat(f,\mathcal{D})$, ove $\mathcal{D}=\frac{\mathcal{C}}{\lambda}$, con $\lambda\neq 0$, è diagonale
b)
$Mat(f,\mathcal{D})=(M_{\mathcal{C,D}}(id))^{t}Mat(f,\mathcal{C})M_{\mathcal{C,D}}(id)$ è diagonale se $M_{\mathcal{C,D}}(id)$ è invertibile, $\forall$ base $ \mathcal{D}$
c)
$Mat(f,\mathcal{D})=\lambda^2 Mat(f,\mathcal{C})$, se $\mathcal{D}=\lambda ^2 \mathcal{C}$, con $\lambda\neq 0$
d)
se $\mathcal{C}=(\mathbf{w}_{1},\ldots,\mathbf{w}_{n})$, allora $f(\mathbf{w}_{i},\mathbf{w}_{j})=\delta_{ij}$, con $\delta_{ij}$ simbolo di Kronecker
5.
Esistono sempre basi ortonormali per uno spazio euclideo, perché
a)
il prodotto scalare $\cdot$ su $\mathbf{E}$ è definita positiva
b)
il prodotto scalare $\cdot$ su $\mathbf{E}$ è simmetrico, quindi esiste sempre una base diagonalizzante per $\cdot$ che si può normalizzare
c)
la matrice associata al prodotto scalare $\cdot$ è la matrice identità per ogni base di $\mathbf{E}$
d)
per il teorema di Sylvester, esiste sempre una base $\mathcal{C}$ di $\mathbf{E}$ tale che $Mat(\cdot,\mathbf{E})=I_{n}$

6.
Data su $\mathbf{R}^{n}$ con il prodotto scalare standard la formula
$\vert\vert(x_{1},\ldots,x_{n})_{\mathcal{B}}\vert\vert=\sqrt{x_{1}^2+x_{2}^2+\cdots+x_{n}^2}$,
possiamo affermare che:
a)
è vera se $\mathbf{x}$ è un vettore non isotropo
b)
presa $\mathcal{E}$ base canonica, è vera se $M_{\mathfrak{E,B} }(id)$ è ortogonale
c)
è vera se e solo se $\mathcal{B}$ è la base canonica
d)
è sempre vera per qualsialsi base $\mathcal{B}$ di $\mathbf{R}^{n}$, perché abbiamo un prodotto scalare

7.
Sia $\mathbf{W}\subset\mathbf{E}$ spazio euclideo, allora
a)
preso $\mathbf{v}\in\mathbf{E}$, posso calcolare la proiezione di $\mathbf{v}$ su $\mathbf{W}$ solo se $\mathbf{v}$ è non isotropo
b)
è sempre vero che $\mathbf{E}=\mathbf{W}\oplus\,\mathbf{W}^{\perp}$
c)
il vettore proiezione ortogonale di un vettore $\mathbf{v}$ su $\mathbf{W}$ è dato dal coefficiente di Fourier di $\mathbf{v}$ rispetto a $\mathbf{W}$
d)
preso $\mathbf{w}\in\mathbf{W}$, vale la formula
$\mathbf{w}=(\mathbf{w}\cdot\mathbf{e}_{1})\mathbf{e}_{1}+\cdots+(\mathbf{w}\cdot \mathbf{e}_{t})\mathbf{e}_{t}$
se e solo se $(\mathbf{e}_{1},\ldots,\mathbf{e}_{t})$ formano una base ortonormale per $\mathbf{W}$

8.
Gli endomorfismi unitari $f:\mathbf{E}\rightarrow\mathbf{E}$ con $\mathbf{E}$spazio euclideo,
a)
portano sempre basi ortonormali in basi ortonormali
b)
portano sempre basi diagonalizzanti in basi diagonalizzanti
c)
portano ogni vettore di una base nella sua norma
d)
portano sempre basi qualsialsi di $\mathbf{E}$ in basi ortonormali di $\mathbf{E}$

9.
La matrice associata ad un endomorfismo unitario:
a)
è simmetrica
b)
ha sempre determinante uguale a 1
c)
è sempre ortogonale
d)
ha determinante 1 se l'endomorfismo è simmetrico, -1 se è antisimmetrico

10.
Un operatore aggiunto $f$ di $g$:
a)
è sempre anche autoaggiunto perché $(g^{*})^{*}=f$
b)
è autoaggiunto se $M_{\mathcal{B}}(f)$ è simmetrica
c)
è autoaggiunto se $M_{\mathcal{B}}(f)$ è ortogonale
d)
è autoaggiunto se $M_{\mathcal{B}}(f)$ è simmetrica con $\mathcal{B}$ base ortonormale


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Emiliana Bonacquisti
2000-06-14