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Per ogni risposta esatta, verranno assegnati 3 punti.
- 1.
- Data una forma quadratica tale che
,
quale delle seguenti affermazioni è vera?
- a)
-

- b)
-

- c)
-

- d)
-

- 2.
- Preso
isotropo, quale di queste affermazioni è falsa?
- a)
-

- b)
-
è isotropo
- c)
-

- d)
- non si può determinare il coefficiente di Fourier di
rispetto ad un vettore

- 3.
- Data una funzione
,
- a)
è sempre diagonalizzabile
- b)
è diagonalizzabile se è simmetrica
- c)
- se
,
allora esiste una unica base
diagonalizzante per
- d)
-
,
è sempre diagonalizzabile
- 4.
- Quale di queste affermazioni è vera?
Data
base di
diagonalizzante per
,
- a)
-
,
ove
,
con
,
è diagonale
- b)
-
è diagonale se
è invertibile,
base
- c)
-
,
se
,
con

- d)
- se
,
allora
,
con
simbolo di Kronecker
- 5.
- Esistono sempre basi ortonormali per uno spazio euclideo, perché
- a)
- il prodotto scalare
su
è definita positiva
- b)
- il prodotto scalare
su
è simmetrico, quindi esiste sempre una base diagonalizzante per
che si può normalizzare
- c)
- la matrice associata al prodotto scalare
è la matrice identità per ogni base di

- d)
- per il teorema di Sylvester, esiste sempre una base
di
tale che

- 6.
- Data su
con il prodotto scalare standard la formula

,
possiamo affermare che:
- a)
- è vera se
è un vettore non isotropo
- b)
- presa
base canonica, è vera se
è ortogonale
- c)
- è vera se e solo se
è la base canonica
- d)
- è sempre vera per qualsialsi base
di
,
perché abbiamo un prodotto scalare
- 7.
- Sia
spazio euclideo, allora
- a)
- preso
,
posso calcolare la proiezione di
su
solo se
è non isotropo
- b)
- è sempre vero che

- c)
- il vettore proiezione ortogonale di un vettore
su
è dato dal coefficiente di Fourier di
rispetto a

- d)
- preso
,
vale la formula
se e solo se
formano una base ortonormale per

- 8.
- Gli endomorfismi unitari
con
spazio euclideo,
- a)
- portano sempre basi ortonormali in basi ortonormali
- b)
- portano sempre basi diagonalizzanti in basi diagonalizzanti
- c)
- portano ogni vettore di una base nella sua norma
- d)
- portano sempre basi qualsialsi di
in basi ortonormali di

- 9.
- La matrice associata ad un endomorfismo unitario:
- a)
- è simmetrica
- b)
- ha sempre determinante uguale a 1
- c)
- è sempre ortogonale
- d)
- ha determinante 1 se l'endomorfismo è simmetrico, -1 se è antisimmetrico
- 10.
- Un operatore aggiunto
di
:
- a)
- è sempre anche autoaggiunto perché

- b)
- è autoaggiunto se
è simmetrica
- c)
- è autoaggiunto se
è ortogonale
- d)
- è autoaggiunto se
è simmetrica con
base ortonormale
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Emiliana Bonacquisti
2000-06-14