Teorema del confronto (o dei carabinieri)

Teorema del confronto (o dei carabinieri)

Il teorema del confronto (o dei carabinieri) asserisce che una funzione "stretta fra due successioni" convergenti allo stesso limite converge anch'essa a questo limite. Formalmente, se f, g e h sono tre funzioni definite su un dominio con punto di accumulazione x₀, tali che

$f(x)\leqslant g(x) \leqslant h(x)$

per ogni x ≠ x₀ del dominio in un intorno di x₀, e tali che

$\lim_{x\to x_0} f(x) = \lim_{x\to x_0} h(x) = l$

allora anche

$\lim_{x\to x_0} g(x) = l.$

Viene detto "dei carabinieri" perché f(x) e h(x) vengono immaginati come i due carabinieri che portano in cella g(x) cioè il criminale.

Operazioni con i limiti

Funzioni aventi lo stesso dominio possono essere sommate o moltiplicate. In molti casi è possibile determinare il limite della funzione risultante dai limiti delle singole funzioni.

Siano f e g due funzioni con lo stesso dominio , e x₀ un punto di accumulazione per . Se esistono i limiti

$\lim_{x \to x_0}f(x) = l_1, \quad \lim_{x \to x_0}g(x) = l_2$

allora

$\lim_{x \to x_0}(c \cdot f(x)) = c \cdot l_1 \qquad \forall c \in \R$

$\lim_{x \to x_0}(f(x) \pm g(x)) = l_1 \pm l_2$

$\lim_{x \to x_0}(f(x) \cdot g(x)) = l_1 \cdot l_2$

$\lim_{x \to x_0}{1 \over f(x)} = {1 \over l_1} \qquad \mbox{se }l_1 \ne 0$

$\lim_{x \to x_0}{f(x) \over g(x)} = {l_1 \over l_2} \qquad \mbox{se }l_2 \ne 0$

Alcune delle uguaglianze elencate sono estendibili ai casi in cui l₁ e/o l₂ sia infinito