Esempi

Sono qui elencati alcuni esempi.

La funzione f(x)=x² è continua in = 3, perché il suo valore f(3)= 3² = 9 coincide con il valore ottenuto come limite:

$\lim_{x \to 3}x^2=9.$

Quanto x diventa molto grande, il valore 1/ x diventa arbitrariamente piccolo, e tende quindi a zero:

$\lim_{x\to\infty}\frac 1x = 0.$

Quando x diventa molto grande, il valore x³ diventa arbitrariamente grande, e tende quindi a + $\infty$ :

$\lim_{x\to +\infty} x^3 = +\infty.$

La funzione seno oscilla indefinitamente fra -1 e +1, e quindi non tende a nessun limite preciso per x à $\infty$ . Quest'affermazione si dimostra formalmente grazie al primo teorema delle restrizioni: siccome la restrizione del seno ai valori π/2+2kπ è costantemente 1 e la restrizione a -π/2+2kπ è costantemente -1, la funzione seno non può ammettere limite globale. Quindi:

$\lim_{x\to+\infty} \sin x = {\rm indefinito},$

Confronto fra funzioni

Siano f e g due funzioni definite su un dominio , con x₀ punto di accumulazione per . Se f(x) ≥ g(x) per ogni x del dominio in un intorno di x₀, e se entrambe le funzioni hanno limite in x₀, allora vale

$\lim_{x\to x_0} f(x)\geq \lim_{x\to x_0} g(x).$

Questo risultato è ottenuto applicando il teorema di permanenza del segno alla differenza f - g.