Limite di una funzione reale di variabile reale

Sia data una funzione:

f: X \rightarrow \R

definita su un sottoinsieme X  della retta reale \R  e un punto di accumulazione x0 di X.

Un numero reale l  il limite di f(x) per x tendente a x0 se la distanza fra f(x) l  arbitrariamente piccola quando x si avvicina a x0.

La distanza fra i punti misurata usando il valore assoluto della differenza: quindi |x- x0|  la distanza fra x e x0 e | f(x) - l |  la distanza fra f(x) e l. Il concetto di "arbitrariamente piccolo" espresso formalmente con i quantificatori "per ogni" (quantificatore universale) ed "esiste" (quantificatore esistenziale).

Formalmente, l  limite se

per ogni numero reale ε > 0 esiste un altro numero reale positivo δ tale che | f(x) - l |  < ε

per ogni x in  X  con 0 < |x- x0| < δ.

In questo caso si scrive

\lim_{x \to x_0}f(x) = l.

Una definizione equivalente che usa gli intorni  la seguente:  l   limite se

per ogni intorno  U  di l  in  \R  esiste un intorno  V  di x0 in  \R  tale che

f(x) appartiene a  U  per ogni x x0 in V \cap X.

Il valore x0 non necessariamente contenuto nel dominio di f. Il valore comunque escluso nella definizione di limite, poich il limite deve dipendere soltanto dai valori di f  in punti arbitrariamente vicini a x0 ma non dal valore che f  assume in x0: per questo motivo si chiede che |x- x0| sia maggiore di zero.