Limite di una funzione reale di variabile reale

Sia data una funzione:

definita su un sottoinsieme  della retta reale  e un punto di accumulazione x₀ di .

Un numero reale l è il limite di f(x) per x tendente a x₀ se la distanza fra f(x) e l è arbitrariamente piccola quando x si avvicina a x₀.

La distanza fra i punti è misurata usando il valore assoluto della differenza: quindi |x- x₀| è la distanza fra x e x₀ e | f(x) - l | è la distanza fra f(x) e l. Il concetto di "arbitrariamente piccolo" è espresso formalmente con i quantificatori "per ogni" (quantificatore universale) ed "esiste" (quantificatore esistenziale).

Formalmente, l è limite se

per ogni numero reale ε > 0 esiste un altro numero reale positivo δ tale che | f(x) - l |  < ε

per ogni x in  con 0 < |x- x₀| < δ.

In questo caso si scrive

Una definizione equivalente che usa gli intorni è la seguente:  è limite se

per ogni intorno  di  in  esiste un intorno  di x₀ in  tale che

f(x) appartiene a  per ogni x ≠ x₀ in .

Il valore x₀ non è necessariamente contenuto nel dominio di f. Il valore è comunque escluso nella definizione di limite, poiché il limite deve dipendere soltanto dai valori di f  in punti arbitrariamente vicini a x₀ ma non dal valore che f  assume in x₀: per questo motivo si chiede che |x- x₀| sia maggiore di zero.