Limiti - Uso
della formula di Taylor
Ricordiamo l'enunciato del
teorema relativo alla formula di Taylor, nelle due forme in cui esso di solito
è presentato:
- Formula di
Taylor-Peano: Sia f una funzione definita in un
intervallo I = ]a,b[ e sia c
I. Supponiamo che in I la funzione
sia derivabile n-1
volte e che in c esista inoltre la derivata n-esima. Allora si ha,
in I:
ove ω(x-c)
è una funzione infinitesima per x tendente a c.
- Formula di
Taylor-Lagrange: Sia f una funzione definita in un
intervallo I = ]a,b[ e sia c I. Supponiamo che in I la funzione
sia derivabile n-1 volte, mentre esiste anche la
derivata n-esima in
I\{c}. Allora per ogni x di I\{c}
ξ tra x e c tale che:
In sostanza il teorema consente
di esprimere una funzione come la somma tra un polinomio e un termine, detto resto, che descrive di quanto
la funzione si discosta dal polinomio. La formula di Taylor-Peano afferma, in
particolare, che il resto è "infinitesimo di ordine superiore"
rispetto a (x-c)n e
quindi consente di ottenere una approssimazione locale, cioè in un intorno di c, di una funzione con un
polinomio. Questo fatto rende la formula di Taylor-Peano estremamente utile per
il calcolo di limiti. La formula di Taylor-Lagrange è invece più utile quando
si vogliano fare stime accurate dell'errore che si commette approssimando la
funzione con un polinomio, in un punto diverso da c, ma comunque ad esso
"vicino".
Sviluppi di alcune funzioni elementari
Per un uso efficiente della
formula di Taylor-Peano nel calcolo dei limiti è opportuno ricordare gli
sviluppi di alcune funzioni elementari, che riportiamo di seguito, utilizzando
la tradizionale notazione di Landau "o-piccolo". Tutti
questi sviluppi sono riferiti al punto iniziale zero, e sono limitati alle
situazioni più comuni nelle applicazioni.
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E' utile, per una efficiente applicazione
della formula di Taylor, saper calcolare sviluppi "composti", tenendo
conto delle proprietà del simbolo o
piccolo, ovvero delle proprietà delle somme e prodotti di infinitesimi.
Forniamo un esempio per chiarire il metodo.
Calcolare lo sviluppo di (1+x)1/x, almeno fino all'ordine
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