Limiti - Uso della formula di Taylor

Ricordiamo l'enunciato del teorema relativo alla formula di Taylor, nelle due forme in cui esso di solito è presentato:

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ove ω(x-c) è una funzione infinitesima per x tendente a c.

 

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In sostanza il teorema consente di esprimere una funzione come la somma tra un polinomio e un termine, detto resto, che descrive di quanto la funzione si discosta dal polinomio. La formula di Taylor-Peano afferma, in particolare, che il resto è "infinitesimo di ordine superiore" rispetto a (x-c)n e quindi consente di ottenere una approssimazione locale, cioè in un intorno di c, di una funzione con un polinomio. Questo fatto rende la formula di Taylor-Peano estremamente utile per il calcolo di limiti. La formula di Taylor-Lagrange è invece più utile quando si vogliano fare stime accurate dell'errore che si commette approssimando la funzione con un polinomio, in un punto diverso da c, ma comunque ad esso "vicino".

Sviluppi di alcune funzioni elementari

Per un uso efficiente della formula di Taylor-Peano nel calcolo dei limiti è opportuno ricordare gli sviluppi di alcune funzioni elementari, che riportiamo di seguito, utilizzando la tradizionale notazione di Landau "o-piccolo". Tutti questi sviluppi sono riferiti al punto iniziale zero, e sono limitati alle situazioni più comuni nelle applicazioni.

E' utile, per una efficiente applicazione della formula di Taylor, saper calcolare sviluppi "composti", tenendo conto delle proprietà del simbolo o piccolo, ovvero delle proprietà delle somme e prodotti di infinitesimi. Forniamo un esempio per chiarire il metodo.

Calcolare lo sviluppo di (1+x)1/x, almeno fino all'ordine 2, in un intorno di zero. Si ha, successivamente:

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