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\pagenumbering{roman} \rhead[\fancyplain{}{\bfseries
Introduzione}]{\fancyplain{}{\bfseries\thepage}}
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Introduzione}}
\chapter*{Introduzione}
\addcontentsline{toc}{chapter}{Introduzione} \indent\indent

Nello studio delle curve del piano una parte importante  è
rappresentata dallo studio delle coniche. Lo scopo del lavoro
svolto è quello di creare un testo multimediale in cui sia
presente una trattazione teorica di tali curve nonchè svariati
esempi ed esercizi. La trattazione è divisa in tre parti:
\begin{itemize}
\item Nel primo capitolo vengono trattate singolarmente ellisse,
iperbole e parabola. Di ciascuna curva viene data sia una
definizione analitica (equazione canonica), sia una definizione
come luogo di punti. Vengono inoltre esposte le principali
proprietà geometriche di ciascuna curva, e vari tipi di
rappresentazione cartesiana: parametrica e polare. Di ogni curva
vengono anche segnalate le proprietà ottiche.
\item Nel secondo capitolo viene presentata la classificazione
affine e euclidea delle coniche, e un procedimento per riconoscere
rapidamente il tipo di conica.
\item Nel terzo capitolo viene data una classificazione
proiettiva delle coniche, sottolineando le differenze e i legami
con le classificazioni già viste
\end{itemize}
Ciascun capitolo è ricco di esempi, osservazioni ed esercizi che
completano e integrano le singole trattazioni.

La struttura del testo multimediale è fatta in modo che ci si
possa muovere agevolmente da una pagina all'altra di ogni singolo
capitolo cliccando su un menù a scorrimento sulla sinistra e,
inoltre a capitoli differenti tramite un  menù in alto a destra.

Ogni qualvolta è presente un argomento che richiede una
trattazione specifica è possibile cliccare su un link per
accedere, tramite collegamenti esterni e interni, a nuove pagine.

Vi è inoltre una ricca presenza di grafici, animazioni che si
aprono mediante popup, e esercizi risolti.

Per redigere la parte scritta è stato usato il programma latex,
poi la stesura finale è stata convertita su html con il programma
latex2html. Inoltre per la visualizzazione di alcuni grafici (in
particolar modo quelli degli esercizi) è stato usato un programma
realizzato per l'ambiente Mathematica.

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Indice}]{\fancyplain{}{\bfseries\thepage}}
\lhead[\fancyplain{}{\bfseries\thepage}]{\fancyplain{}{\bfseries
Indice}}


\chapter[Classificazione Euclidea. Coniche come Luoghi Geometrici]{Classificazione Euclidea. Coniche come Luoghi Geometrici}
\pagenumbering{arabic}
\section*{Nota storica}

Le coniche sono curve studiate sin dall'antichità e molti
matematici hanno dato il loro contributo allo studio di tali
curve. Sembra che per primo Menecmo (375-325 a.C.), un matematico
greco maestro di Alessandro Magno, si sia imbattuto nelle coniche
nel tentativo di risolvere uno dei tre famosi problemi della
matematica greca (i problemi di Delo). Egli stava studiando curve
dotate di proprietà adatte alla duplicazione del cubo. Apollonio
(262-190 a.C.), conosciuto come il Grande Geometra, consolidò ed
approfondì i precedenti risultati sulle coniche nell'opera Le
Coniche. Apollonio fu il primo a dimostrare che era possibile
ottenere tutte e tre le sezioni coniche intersecando un cono con
un piano e facendo poi variare l'inclinazione di tale piano. Fu
anche il primo ad attribuire i nomi di ellisse, parabola, ed
iperbole.

Successivamente le leggi di Keplero sui movimenti dei pianeti
diedero una notevole applicazione delle coniche e delle loro
proprietà geometriche. In termini moderni possiamo dire che ogni
corpo dotato di massa determina intorno a sé una zona di spazio in
cui le altre masse risentono della sua attrazione, un campo
gravitazionale. Un corpo che si muove in un campo gravitazionale,
può descrivere tre diversi tipi di traiettorie: ellittica,
iperbolica o parabolica. Tali traiettorie dipendono dalla velocità
iniziale e dalla direzione del corpo. Nel caso di orbite
ellittiche si parla di traiettoria chiusa (per es. la terra
intorno al sole, la luna intorno la terra). Nel caso di orbite
iperboliche e paraboliche si parla di orbite aperte (per es.
alcune comete intorno al sole).



Nella geometria proiettiva le coniche sono un oggetto fondamentale
come i cerchi nella geometria greca.

Le sezioni coniche sono uno dei più ampi e classici argomenti
della ma\-te\-ma\-ti\-ca ed uno di quelli che ha stimolato i
maggiori progressi in questa scienza.

Una equazione del tipo $f(x,y)=0$, dove $f$ è un polinomio di
secondo grado a coefficienti reali, definisce una curva piana che
si chiama \textit{conica}. Detta $\mathcal{C}$ tale conica,
l'equazione generale si scrive:
$$
\alpha x^{2}+\beta y^{2}+\gamma xy+\delta x+\varepsilon
y+\varphi=0
$$
$$
con \; \alpha,\beta,\gamma,\delta,\varepsilon,\varphi \in
 \mathbf{R}.
$$
Scegliendo un  opportuno sistema di coordinate cartesiane,
l'equazione di una conica si può riscrivere in una delle seguenti
forme.
$$
ax^{2}+by^{2}=1\ ;
$$
$$
\hspace{17mm} ax^{2}=2by \quad con \,\,\, a, b\in \mathbf{R}.
$$
Una conica la cui equazione sia così scritta si dice in
\textit{forma canonica}; inoltre se i coefficienti sono tutti non
nulli si dice \textit{non degenere}.\\
Studieremo ora le coniche in forma canonica enunciando, di volta
in volta, le principali proprietà geometriche di ciascuna di esse.
Inoltre vedremo che possono essere viste come particolari luoghi
geometrici.

\section[Ellisse]{Ellisse.}

L'Ellisse è una curva piana di equazione
\begin{equation}
\label{1ellisse}
\mathcal{C}:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}= 1 \;(a\geq
b>0)
\end{equation}

Se $a=b$ l'equazione dell'ellisse diventa
$$
x^{2}+y^{2}=a^{2}
$$
ossia una \textit{circonferenza} di centro l'origine e raggio $a$.\vspace{2mm}\\
\textbf{Regione in cui si trova la curva}.\vspace{1mm}\\
L'equazione dell'ellisse si può anche scrivere nel modo seguente:
$$
x^{2}=a^{2}[1-\displaystyle\frac{y^{2}}{b^{2}}]
$$
Poichè $1\geq\displaystyle\frac{y^{2}}{b^{2}}\geq0$ \,i valori di
$\mathcal{C}$ lungo l'asse $x$ variano tra $a$ e $-a$;
analogamente le $y$ variano tra $b$ e $-b$. Allora il grafico
dell'ellisse è contenuto nell'insieme costituito dai punti
$P(x,y)$ del piano tali che $|x|\leq a$, $|y|\leq b$, cioè nel
rettangolo delimitato dalle rette di equazioni
$$
x=\pm a, y=\pm b
$$
I punti di coordinate $(\pm a,0)$ e $(\pm b,0)$ sono i punti di
intersezione di $\mathcal{C}$ con gli assi cartesiani. Tali punti
si chiamano \textit{vertici}
dell'ellisse.\vspace{2mm}\\
\textbf{Simmetrie}.

\vspace{1mm} Se $P=(u,v)$ appartiene a $\mathcal{C}$, questa
contiene anche i punti $(u,-v)$, $(-u,v)$, $(-u,-v)$. Infatti le
variabili $x$ e $y$ compaiono soltanto al quadrato, quindi
l'ellisse è una curva simmetrica, sia rispetto l'asse  $x$, sia
rispetto all'asse $y$, e quindi anche simmetrica rispetto
all'origine.
\begin{itemize}
\item Gli assi  $x, y$ sono gli \textit{assi di simmetria per $\mathcal{C}$}.
\item L'origine degli assi \`e il \textit{centro di simmetria per
$\mathcal{C}$}, detto \textit{centro di $\mathcal{C}$}.
\item I quattro segmenti di estremi l'origine e uno dei vertici sono
detti \textit{semiassi}. I numeri $a, b$ sono le \textit{lunghezze
dei semiassi}.
\end{itemize}

Se \, $a=b$, cio\`e se $\mathcal{C}$ \`e una circonferenza di
centro l'origine e raggio $a$, \textit{ogni asse per l'origine
\'e asse di simmetria}.\vspace{2mm}\\
\textbf{Fuochi dell'ellisse}.\vspace{1mm}\\
Posto $\displaystyle c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$ i punti di coordinate
$(\pm c,0)$ sono i fuochi dell'ellisse. Il numero $\displaystyle
e=\frac{c}{a}$ è la sua \textit{eccentricità} . Si ha sempre
$0\leq e<1$. Se  $e=0$, $\mathcal{C}$  è una circonferenza, i
fuochi coincidono tra loro e con il centro degli assi. Se  $e\neq
0$  le due rette di equazioni  $\displaystyle x=\pm \frac{a}{e}$
sono dette \textit{direttrici dell'ellisse}:
\begin{itemize}
 \item $\displaystyle x=\frac{a}{e}$ si dice \textit{relativa al fuoco} $(c,0)$
 \item $\displaystyle x=-\frac{a}{e}$ si dice \textit{relativa al fuoco} $(-c,0)$.
\end{itemize}




\begin{ese}
Trovare l'ellisse $\mathcal{C}$ di centro $O$, avente semiassi
$a=4$ e $b=5$
e con l'asse maggiore sull'asse delle $x$. Trovare poi i fuochi dell'ellisse.\\
\textbf{Soluzione:} Si ha \,
$\displaystyle\mathcal{C}:\frac{x^{2}}{25}+\frac{y^{2}}{16}= 1$\\
$\displaystyle c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{25-16}=\pm3$ allora\\
$F=(\pm3,0)$.
\end{ese}
\begin{oss}
Poichè risulta $d(B,F')=d(B,F)=a=d(O,A)$, questo dà un semplice
metodo grafico per disegnare i fuochi con l'uso di riga e
compasso. Basterà puntare in $B$ il compasso di raggio $a$,
l'intersezione con l'asse $x$ darà allora i fuochi cercati.
\end{oss}




\begin{ese}Sia data la conica $\mathcal{C}$ di equazione: $3x^{2}+9y^{2}= 27$.
Ridurla in forma canonica e trovarne fuochi e vertici.\\
\textbf{Soluzione:} Dividendo l'equazione per $27$ si ha:
$$
\frac{x^{2}}{3^{2}}+\frac{y^{2}}{(\sqrt{3})^{2}}= 1
$$
Da qui si ricava che i semiassi sono $a=3, b=\sqrt{3}$; i vertici
sono allora
$(3,0),(-3,0)$,$(\sqrt{3},0),(-\sqrt{3},0)$.\\
Segue che
$$
c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{9-3}=\pm\sqrt{6}
$$
con $a>b$, e i fuochi sono sull'asse delle $x$,
$F=(\sqrt{6},0),F'=(-\sqrt{6},0)$.
\end{ese}
\begin{oss}
Le considerazioni precedenti vengono fatte nel caso in cui\\
 $a>b$. Se $a<b$ allora la figura è del tipo seguente cioè il
semiasse maggiore è lungo l'asse delle $y$. Inoltre, sempre se
$a<b$ i fuochi saranno rispettivamente $F=(0,c), F'(0,-c)$ con
$c=\sqrt{b^{2}-a^{2}}$
\end{oss}




\begin{oss}
L'equazione \,
$\displaystyle\frac{(x-c)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-d)^{2}}{b^{2}}=1$ è
ancora un'ellisse, tuttavia essa è di centro C=(c,d) e le rette
$X=c, Y=d$ sono i suoi assi di simmetria.\\
L'equazione si riduce in forma canonica con la traslazione
$$
\left \{
\begin{array}{l}
x=X-c\\
\,
y=Y-d\\
\end{array}
\right.
$$
\end{oss}
\begin{ese}Trovare centro ed assi dell' ellisse
$\displaystyle \mathcal{C}:x^2+8y^2-2x+16y=0$.\\
\textbf{Soluzione:}Basta riscrivere l'equazione nel modo seguente
\emph{(metodo del completamento dei quadrati)}:
$$
(x^{2}-2x+1)+8y^{2}+16y-1=0
$$
$$
(x-1)^{2}+8y^{2}+16y+8-8-1=0
$$
$$
{(x-1)}^{2}+8(y^{2}+2y+1)=9
$$
$$
(x-1)^{2}+\frac{(y+1)^{2}}{\left(\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{2}}
\right)^{2}}=9
$$
cioè:
$$
\frac{(X-1)^{2}}{(3)^{2}}+\frac{(Y+1)^{2}}{\left(
\displaystyle \frac{3}{2\sqrt{2}} \right)^{2}}=1.
$$
La curva in questione è un'ellisse. Da qui il centro è in
$C=(-1,1)$ e i semiassi sono le rette
$X=-1$, $Y=1$;\\
le lunghezze dei semiassi sono rispettivamente $a=3$,
$b=\displaystyle\frac{3}{2\sqrt{2}}$;\\
$a>b$ dunque i fuochi stanno sull'asse orizzontale.\\
La traslazione
$$
\left \{
\begin{array}{l}
x=X-1\\
y=Y+1\\
\end{array}
\right.
$$
trasforma l'equazione nella seguente:
$$
\frac{X^{2}}{(3)^{2}}+\frac{Y^{2}}{\left(\displaystyle\frac{3}{2\sqrt{2}}\right)^{2}}=1,
$$
ossia
$$
\displaystyle\frac{X^{2}}{9}+\frac{Y^{2}}{\displaystyle\frac{9}{8}}=1.
$$
\vspace{2mm}
\end{ese}
\textbf{Ellisse come luogo geometrico 1.}
\begin{prop}
L'ellisse è il luogo dei punti del piano le cui distanze dai due
fuochi hanno somma costante, uguale a $2a$ (dove a rappresenta il
semiasse maggiore).\\
\textbf{Dimostrazione:} Denotiamo con  $F$, $F'$ rispettivamente,
i due fuochi. Fissiamo un sistema cartesiano $(O,x,y)$  tale che
l'asse $x$ passi per $F$ e $F'$. Allora i due fuochi avranno
coordinate $(\pm c,0)$.\, Il punto $P=(x,y)$ verifica la
condizione  $d(P,F)+d(P,F')=2a$  se e solo se
\,$\displaystyle\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a$;
spostando la seconda radice al secondo membro, e elevando due
volte al quadrato, otteniamo:
$$
\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}=2a- \sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}
$$
$$
(x+c)^{2}-(x-c)^{2}=4a^{2}-4a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}
$$
$$
x^{2}+c^{2}+2xc-x^{2}-c^{2}+2xc-4a^{2}=-4a\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}
$$
$$
16(xc-a^{2})^{2}=16a^{2}[(x-c)^{2}+y^{2}]
$$
$$
x^{2}(a^{2}-c^{2})+a^{2}y^{2}=a^{2}(a^{2}-c^{2})
$$
si arriva poi all'identità
$$
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{(a^{2}-c^{2})}=1
$$
la quale rappresenta, posto $b^{2}=a^{2}-c^{2}$, l'equazione
canonica dell'ellisse.
\end{prop}




\begin{ese}Dati $F=(0,3),F'=(0,-3)$ trovare il luogo dei punti $P$ tali che
$d(P,F)+d(P,F')=12$\\
\textbf{Soluzione}: $P=(x,y)$. Ellisse con fuochi  $F$, $F'$
sull'asse $y$, asse maggiore di lunghezza
4.\\
$\mathcal{C:}\displaystyle\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
allora  $b=6$, \, $a^{2}=b^{2}-c^{2}=36-9=27$; sostituendo si ha
\, $\displaystyle\frac{x^{2}}{27}+\frac{x^{2}}{36}=1$  e quindi il
luogo cercato.
\end{ese}
\begin{ese}
Trovare l'equazione dell'ellisse che ha fuochi $F=(\sqrt
7,0)$,$F'=(-\sqrt 7,0)$ e semiasse maggiore uguale a $8$.\\
\textbf{Soluzione}:Dalla proposizione sappiamo che l'ellisse è il
luogo dei punti tali che \, $d(P,F)+d(P,F')=16$. \,Allora
$$
\sqrt{(x-\sqrt 7)^{2}+(y)^{2}}+ \sqrt{(x+\sqrt 7 )^{2}+(y)^{2}}=16
$$
calcolando otteniamo
$$
\frac{x^{2}}{64}+\frac{y^{2}}{57}=1
\vspace{2mm}
$$
\end{ese}
\textbf{Ellisse come luogo geometrico 2.}
\begin{prop}
L'ellisse è il luogo dei punti del piano le cui distanze da un
fuoco e dalla relativa direttrice hanno rapporto costante uguale
ad $e$ ($e$ si dice \emph{eccentricità} della conica).
\end{prop}
\textbf{Dimostrazione:} Consideriamo $F=(c,0)$ il fuoco,
$\displaystyle x=\pm \frac{a}{e}$ la direttrice. Per un punto
$P(x,y)$ la condizione è che
$$
\frac{d(P,F)}{d(P,d)}=e
$$
cioè
$$
\frac{\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}}{ \displaystyle x-\frac{a}{e}}=e
$$
$$
(x-c)^{2}+y^{2}=(ex-a)^{2}
$$
$$
x^{2}(1-e^{2})+y^{2}=a^{2}-c^{2}+2cx-2eax
$$
$$
x^{2}(1-e^{2})+y^{2}=2(c-ea)x+a^{2}-c^{2}
$$
ponendo $\displaystyle e=\frac{c}{a}$,\,$\ b^{2}=a^{2}-c^{2}$,
otteniamo l'equazione canonica  di un'ellisse. L'altro caso cioè
quello in cui si considerano $F=(-c,0)$ il fuoco,
$x=-\displaystyle\frac{a}{e}$ la direttrice si
vede in modo analogo.\vspace{2mm}\\
\textbf{Equazione polare dell'ellisse.}\vspace{1mm}\\
Consideriamo un'ellisse di fuoco $F$ e direttrice $d$.\\
Fissiamo un sistema di riferimento $(O,x,y)$ ortonormale in modo che:\\
- $O\equiv F $\\
- l'asse $x$ sia orientato da $O$ verso $d$.\\




Sia  $h>0$ la distanza tra  $O$ e il punto di intersezione tra $d$
e l'asse $x$,  $ \rho $ la lunghezza del vettore
$\overrightarrow{OP}$, $\theta$ è angolo che $\overrightarrow{OP}$ forma con l'asse $x$.\\
 Si ha $d(P,F)=\rho$ e $d(P,p)=h-\rho\cos\theta.$
 Sostituendo a  $\displaystyle\frac{d(P,F)}{d(P,d)}=e$, ed esplicitando poi $\rho$ si
 ottiene
 $$
\rho=\displaystyle\frac{eh}{1+e\rho\cos\theta}\,\,\,\,\,\,\,\,
0<e<1,h>o.
 $$
Tale equazione si chiama \textit{equazione polare dell'ellisse}.\vspace{2mm}\\
\textbf{Rappresentazione parametrica dell'ellisse.}\vspace{1mm}\\
L'ellisse
$\displaystyle\mathcal{C}:\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
si può rappresentare parametricamente nel modo seguente:
                      $$
                      \mathcal{C}:
                      \left\{
                      \begin{array}{rl}
                       x=a\cos\theta\\
                      y=b\sin\theta\\
                       0\leq\theta<2\pi
                      \end{array}
                      \right.
                      $$
Infatti dall'equazione di $\mathcal{C}$ si vede che si ha sempre
$\displaystyle\frac{x^{2}}{a^{2}}\leq1 , \frac{y^{2}}{b^{2}}\leq1
$, ossia
 $$
 \left|
  \begin{array}{c}
  \displaystyle\frac{x}{a}
  \end{array}
  \right|\leq1
  $$
   $$
 \left|
  \begin{array}{c}
  \displaystyle\frac{y}{b}
  \end{array}
  \right|\leq1
  $$
  inoltre
  $$
  \left(
  \displaystyle\frac{x}{a}
  \right)^{2}
   +
  \left(
  \displaystyle\frac{y}{b}
  \right)^{2}
  =1
  $$
e quindi possiamo scrivere
$$
\left\{
\begin{array}{rl}
\displaystyle \frac{x}{a}=\cos \theta & \mbox{cioè} \,\,\,\,\, x=a\cos \theta\\
\vspace{1mm}\\
\displaystyle \frac{y}{b}=\sin\theta & \mbox{cioè} \,\,\,\,\,
y=b\sin\theta
\end{array}
\right.
$$
Consideriamo ora un  sistema di assi cartesiani $(O,x,y)$, e due
circonferenze con centro nell'origine e di raggio
$a$ e $b$ rispettivamente.\\
Prendiamo una retta per l'origine che
formi un angolo $\theta$ con l'asse $x$.\\
Tale retta incontrerà la circonferenza di raggio $a$ in un punto
$P_{1}$  di ascissa $x_{1}=a\cos\theta$ e la circonferenza di
raggio $b$ in un punto $P_{2}$ di ordinata $x_{2}=b\sin\theta$. Il
punto $P(x_{1},x_{2})$ di ascissa $a\cos\theta$ e di ordinata
$b\sin\theta$  appartiene all'ellisse. L'angolo $\theta$ si suole
chiamare \textit{anomalia eccentrica} di $P$.




Questo ci fornisce un metodo per disegnare un'ellisse con l'uso di
riga e compasso. Tracciamo prima due circonferenze con centro
nell'origine e raggi rispettivamente $a, b$  poi una retta per
l'origine. Dai punti di intersezione della retta con le due
circonferenze, si conducano rispettivamente la parallela all'asse
$x$ e la parallela all'asse $y$. Un punto dell'ellisse sarà
determinato dal loro punto di intersezione.
\begin{oss}
Ponendo $t=\tan(\varphi/2)$ e sostituendola all'equazione
parametrica otteniamo una rappresentazione dell'ellisse:
                      $$
                      \mathcal{C}:
                      \left\{
                      \begin{array}{rl}
                       x=a\displaystyle\frac{t^{2}-1}{t^{2}+1}\\
                       \vspace{1mm}\\
                      y=b\displaystyle\frac{2t}{t^{2}+1}
                      \end{array}
                      \right.
                      $$
Tali equazioni esprimono le coordinate dei punti di
$\mathcal{C}$\, tramite funzioni razionali del parametro $t$.
 Pertanto l'ellisse è detta essere una \textit{curva razionale}.
\end{oss}
\begin{ese}
 L'ellisse $\displaystyle\frac{(x-4)^{2}}{12}+\frac{(y-3)^{2}}{36}=1$ ha le
 seguenti equazioni parametriche
                      $$
                      \mathcal{C}:
                      \left\{
                      \begin{array}{rl}
                       (x-4)=2\sqrt{3}\cos\theta\\
                       (y-3)=6\sin\theta
                      \end{array}
                      \right.
                      $$
cioè
                      $$
                      \mathcal{C}:
                      \left\{
                      \begin{array}{rl}
                       x=4+2\sqrt{3}\cos\theta\\
                       y=3+6\sin\theta
                      \end{array}
                      \right.
                      $$
inoltre               $$
                      \mathcal{C}:
                      \left\{
                      \begin{array}{rl}
                       \displaystyle x=4+2\sqrt{3}\frac{t^{2}-1}{t^{2}+1}\\
                       \vspace{1mm}\\
                       \displaystyle y=3+6\frac{2t}{t^{2}+1}
                      \end{array}
                      \right.
                      $$
\vspace{2mm}
\end{ese}
PROPRIETA' DELL'ELLISSE\vspace{1mm}\\

L'ellisse possiede interessanti proprietà di carattere ottico.
Infatti, supponiamo di avere un riflettore di forma ellittica. Se
si pone una sorgente di luce in uno dei due fuochi, tutti i raggi
riflessi passano per l'altro fuoco. Questo ci da inoltre, una
spiegazione dei nomi dati a tali punti F, F'. Supponiamo adesso di
essere in un ambiente di forma ellittica. Il suono emesso in uno
dei due fuochi, anche se molto debole, si sente molto
distintamente nell'altro fuoco. Infatti in entrambi i casi, sia le
onde luminose che sonore, che sono riflesse dalle pareti
percorrono tutte la stessa distanza e giungono contemporaneamente (in fase) all'altro fuoco.\\




\section[Iperbole]{Iperbole.}

L'iperbole è una curva piana di equazione
\begin{equation}
\label{forma canonica}
\mathcal{C}:\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}= 1 \; \,
 (a>0,b>0)
\vspace{2mm}
\end{equation}
\textbf{Regione in cui si trova la curva}.\vspace{1mm}\\
Intersechiamo l'iperbole con le rette parallele agli assi
coordinati e con quelle passanti per l'origine:
\begin{itemize}
\item sia $x=t$ una retta parallela all'asse $y$\\
sostituendo tale valore a $\mathcal{C}$ si ha:
$y^{2}-\displaystyle(\frac{t^{2}}{a^{2}}-1)b^{2}=0$ con $ t, a, b
\in \mathbf{R}$. Al variare di t avremo soluzioni diverse.
Infatti:
\begin{itemize}
\item se $t>a$ opp. $t<-a$, la retta $x=t$
interseca la conica in due punti distinti;\\
\item se $ t=\pm a$, interseca $\mathcal{C}$ in due punti coincidenti;\\
\item se $-a<t<a$, interseca $\mathcal{C}$ in due punti complessi e coniugati.
Quindi non ci sono intersezioni nel piano euclideo.
\end{itemize}
\item sia $y=t$ una retta parallela all'asse $x$\\
sostituendo in $\mathcal{C}$ si ha:
$x^{2}-\displaystyle(1+\frac{t^{2}}{b^{2}})a^{2}=0 \; con \; t, a,
b \in \mathbf{R}$. Questo ci dice che qualunque sia $t$ si hanno
sempre radici reali e la retta $y=t$ interseca l'iperbole in due
punti reali e distinti.
\item sia $y=mx$ una retta per l'origine \\
abbiamo sempre sostituendo in $\mathcal{C}$:
$x^{2}\displaystyle(\frac{1}{a^{2}}-\frac{m^{2}}{b^{2}})=1$
quindi:
\begin{itemize}
\item se $\displaystyle-\frac{b}{a}< m < \frac{b}{a}$,\\
la retta $y=mx$ taglia $\mathcal{C}$ in due punti distinti
\item se $\displaystyle m>\frac{b}{a}$ oppure $\displaystyle m<-\frac{b}{a}$,\\
interseca $\mathcal{C}$  in due punti complessi e coniugati,
quindi non la interseca nel piano euclideo.
\item se $\displaystyle m=\pm\frac{b}{a}$. \\
nessuna intersezione, nemmeno complessa, (vedremo più avanti che
queste rette sono asintoti)
\end{itemize}
\end{itemize}




I punti $A=(-a,0) , A'=(a,0)$ sono i punti di intersezione
di$\mathcal{C}$ con l'asse  $x$. Tali punti si chiamano
\textit{vertici} dell'iperbole. La retta $AA'$ (che è uno degli
assi di simmetria) si chiama \textit{asse trasverso} (o
\textit{asse focale} o \textit{asse secante}) dell'iperbole .
\begin{oss}
Sia $\displaystyle\mathcal{C}: \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}= 1$,\\
esplicitando rispetto alla variabile y e cioè scrivendo
$y^{2}=b^{2}\displaystyle(\frac{x^{2}}{a^{2}}-1)$ possiamo dire
che l'iperbole è l'unione dei grafici delle due funzioni
seguenti,definite per $|x|\leq a$
\begin{equation}
\label{asintoti} y=b\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}-1}; \,
y=-b\sqrt{\frac{x^{2}}{a^{2}}-1}
\end{equation}
\vspace{2mm}
\end{oss}
\textbf{Simmetrie}.\vspace{1mm}\\
Come per l'ellisse, le variabili $x e y$ compaiono soltanto al
quadrato, quindi l'iperbole è una curva simmetrica sia rispetto
all'asse $x$ sia rispetto all'asse $y$, e quindi è anche
simmetrica rispetto all'origine.
\begin{itemize}
\item Gli assi $x$, $y$ sono gli \textit{assi di simmetria per
$\mathcal{C}$}.
\item L'origine degli assi è il \textit{centro di
simmetria per $\mathcal{C}$}, detto anche \textit{centro di
$\mathcal{C}$}.
\item Analogamente all'ellisse i numeri
 $a, b$  si chiamano \textit{semiassi}. Più precisamente si
dirà  che $a$  è il \textit{semiasse trasverso} e  $b$ è  il
\textit{il semiasse secondario} o \textit{non trasverso}.\\
\vspace{2mm}
\end{itemize}
\textbf{Fuochi dell'iperbole}.\vspace{1mm}\\
Posto $c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}$ i punti di coordinate $(\pm c,0)$
sono i fuochi dell'iperbole. Il numero $\displaystyle
e=\frac{c}{a}$ è la sua \textit{eccentricità}. Si ha sempre, per
l'iperbole, $e>1$. Le due rette di equazioni $\displaystyle
x=\pm\frac{a}{e}$ sono dette \textit{direttrici dell'iperbole:}
\begin{itemize}
\item $\displaystyle x=\frac{a}{e}$ si dice \textit{relativa al fuoco} $( c,0)$
\item $\displaystyle x=-\frac{a}{e}$ si dice \textit{relativa al fuoco}$(-c,0).$
\end{itemize}



\begin{oss}
Poichè $b^{2}>0$ allora $c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}>a$ (per ipotesi
$a>0$). Ciascuno dei due fuochi quindi è interno a uno dei due
rami dell'iperbole.
\end{oss}
\begin{oss}
L'equazione \,
$\displaystyle\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=-1$ \,è
ancora un'iperbole di centro $O$. I suoi assi di simmetria sono
ancora gli assi coordinati. Tuttavia l'\textit{asse focale} è
l'asse delle $\displaystyle y$ come si vede con il cambiamento di
coordinate $X=y , Y=x$. I fuochi sono $F=(0,\pm c)$ dove
$c^{2}=a^{2}+b^{2}$.
\end{oss}




\begin{oss}
E' possibile disegnare i fuochi dell'iperbole solo con l'uso di
riga e compasso. Infatti dalla figura si vede $d(O,F)=d(O,C)$. Ora
puntato il compasso sull'origine degli assi e preso un raggio pari
a $\overline{OC}$, i punti di intersezione tra la circonferenza
tracciata e l'asse delle  $x$ sono i fuochi dell'iperbole.
\end{oss}




\begin{ese}
Trovare l'equazione dell'iperbole $\mathcal{C}$ di centro $O$,
avente semiassi $3$ e $2$. Trovare poi le coordinate dei fuochi dell'iperbole.\\
\textbf{Soluzione:} Si ha \,
$\displaystyle\mathcal{C}:\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{4}= 1$\\
$\displaystyle c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{9+4}= \sqrt{13}$ e
quindi $F=(\pm\sqrt{13},0)$.
\end{ese}
\begin{ese} Data l'iperbole di equazione $4x^{2}-16y^{2}= 64$, scriverla nella
forma (\ref{forma canonica}) (detta \emph{forma canonica}).
Trovarne poi fuochi e vertici.\\
\textbf{Soluzione:} Dividendo l'equazione per $64$, si ottiene:
$$
\frac{x^{2}}{4^{2}}-\frac{y^{2}}{(2)^{2}}= 1
$$
Da qui i semiassi sono $a=4, b=2$; i vertici sono allora
$(4,0),(-4,0)$\\
Inoltre
$$
c=\sqrt{a^{2}+b^{2}}=\sqrt{16+4}=2\sqrt{5},
$$
da cui  $F=(2\sqrt{5},0),F'=(-2\sqrt{5},0)$.
\vspace{2mm}
\end{ese}
\textbf{Asintoti}.\vspace{1mm}\\
Le rette $\displaystyle y=\pm(\frac{b}{a})x$ (cioè le uniche rette
che passano per l'origine e non intersecano $\mathcal{C}$ in punti
né reali né complessi) si chiamano \textit{asintoti}.
\begin{oss}
Se gli asintoti sono tra loro ortogonali (cioè se $a=b$)
l'iperbole si dice \textit{equilatera}.
\end{oss}
\begin{oss}
Le rette  $\displaystyle y=\pm(\frac{b}{a})x$ sono asintoti per
entrambe le funzioni (\ref{asintoti}).\\
Per asintoti intendiamo:
\begin{defin}
Sia $f(x)$ una funzione continua in $[q,+\infty).$La retta di
equazione $y=ax+b$ si dice asintoto di $f(x)$, per
$x\rightarrow+\infty$, se
$$
\lim_{x \rightarrow +\infty}{(f(x)-ax-b)}=0.
$$
\end{defin}
\textbf{Dimostrazione dell'osservazione 10:}

Limitandoci  ora alla parte di iperbole contenuta nel primo
quadrante avremo:
$$
\lim_{x \rightarrow
+\infty}(\frac{b}{a}\sqrt{x^{2}-a^{2}}-\frac{b}{a}x)= \lim_{x
\rightarrow +\infty}(\frac{b}{a}(\sqrt{x^{2}-a^{2}}-x))=
$$
$$
\lim_{x \rightarrow +\infty}(\frac{b}{a} \, \frac{(
\sqrt{x^{2}-a^{2}}-x)(\sqrt{x^{2}-a^{2}}+x)}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}+x})=
$$
$$
\lim_{x \rightarrow +\infty}(\frac{b}{a} \, \frac{(x^{2}
-a^{2}-x^{2})}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}+x})=\lim_{x \rightarrow
+\infty}(\frac{-ab}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}+x})=0
$$
Lo stesso risultato si otterrebbe per $x\rightarrow -\infty$ per
il ramo di curva contenuto nel terzo quadrante, di equazione
$\displaystyle y=-\frac{b}{a}\sqrt{x^{2}-a^{2}}$.\\
Se consideriamo l'altro asintoto $\displaystyle y=-\frac{b}{a}x$
lo studio andrà fatto sul ramo di curva al secondo e quarto
quadrante; si arriverà alle stesse conclusioni.
\end{oss}




nella figura è messo in evidenza il significato geometrico dei
numeri $a, b$. I due asintoti costituiscono le diagonali del
rettangolo di lati $2a$ e $2b$.
\begin{oss}
L'equazione \,
$\displaystyle\frac{(x-p)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-q)^{2}}{b^{2}}=1$
rappresenta ancora un'iperbole, tuttavia essa è di centro
$C=(p,q)$ e le rette
$X=p$, $Y=q$ sono i suoi assi di simmetria.\\
L'equazione si riduce in forma canonica con (\ref{forma canonica})
la traslazione
$$
\left \{
\begin{array}{l}
X=x-p\\
\,
Y=y-q\\
\end{array}
\right.
$$
\end{oss}
\begin{ese}
Verificare che l'equazione \, $\displaystyle 3x^2-y^2-6x+4y-7=0$
rappresenta un iperbole, e trovarne centro, asintoti e fuochi.\\
\textbf{Soluzione:} Basta riscrivere l'equazione nel modo seguente
\emph{(metodo del completamento dei quadrati)}:
$$
3(x^{2}-2x+1)-y^{2}+4y-7-3=0
$$
$$
3(x-1)^{2}-(y^{2}-4y+4)-10+4=0
$$
$$
3(x-1)^{2}-(y-2)^{2}=6
$$
cioè:
$$
\frac{(x-1)^{2}}{(\sqrt{2})^{2}}-\frac{(y-2)^{2}}{(\sqrt{6})^{2}}=1.
$$
La traslazione
$$
\left \{
\begin{array}{l}
X=x-1\\
Y=y-2\\
\end{array}
\right.
$$
trasforma l'equazione nella seguente:
$$
\frac{(X)^{2}}{(\sqrt{2})^{2}}-\frac{(Y)^{2}}{(\sqrt{6})^2}=1.
$$
Tale equazione rappresenta un'iperbole.
\begin{itemize}
\item rispetto agli assi $X,Y$
il centro è $(0,0)$; gli assi di simmetria sono $X=0$, $Y=0$; i
vertici sono $A=(\pm\sqrt{2},0).$
Gli asintoti sono le rette $Y=\pm\sqrt{3}X$.\\
I fuochi sono $F=(\pm2\sqrt{2},0)$
\item rispetto agli assi $x, y$
il centro è $(1,2)$; gli assi di simmetria sono $x=1$, $y=2$; i
vertici sono $A=(\pm\sqrt{2}+1,2).$
Gli asintoti sono le rette $(y-2)=\pm\sqrt{3}(x-1)$.\\
I fuochi sono $F=(\pm2\sqrt{2}+1,2)$
\end{itemize}
\end{ese}
\begin{oss}[Iperbole equilatera]
La conica $\mathcal{C}: X^{2}-Y^{2}=a^{2}$, ossia
$\displaystyle\frac{X^{2}}{a^{2}}-\frac{Y^{2}}{a^2}=1$ ( caso in
cui $a=b$ ) prende il nome di \textit{iperbole equilatera}. Essa
ha asintoti
di equazione $y=\pm x$, tali rette sono le bisettrici del 1°e 3°
e del 2° e 4° quadrante rispettivamente.\\
Possiamo allora, con opportuno cambiamento di coordinate,
assumerli come nuovi assi coordinati. Infatti, ricordando le
formule di rotazione
$$
\left \{
\begin{array}{rl}
X=x\cos\theta-y\sin\theta\\
Y=x\sin\theta+y\cos\theta
\end{array}
\right.
$$
prendiamo $\displaystyle\theta=-\frac{\pi}{4}$, ruotiamo cioè il
piano in senso orario di  45°. Avremo allora:
$$
\left \{
\begin{array}{rl}
X=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}(x+y)\\
Y=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{2}(-x+y)
\end{array}
\right.
$$
che sostituite nell'equazione ci da
$$
\displaystyle\frac{1}{2}(x+y)^{2}-\frac{1}{2}(-x+y)^{2}=a^{2}
$$
e sviluppando
$$
\displaystyle xy=\frac{1}{2}a^{2}\qquad (con \, \,
\frac{a^2}{2}>0).
$$
Il grafico di $xy=c$, per $c>0$, è il seguente: \vspace{2mm}




\end{oss}
\textbf{Iperbole come luogo geometrico 1}.
\begin{prop}
L'iperbole è il luogo dei punti le cui distanze dai due fuochi
hanno differenza costante in valore assoluto, uguale a $2a$ (dove
a indica il semiasse traverso).\\
\textbf{Dimostrazione:} Denotiamo con  $F$, $F',$ rispettivamente,
i due fuochi. Fissiamo un sistema cartesiano $(O,x,y)$ tale che
l'asse $x$ passi per $\overrightarrow{FF'}$ e l'origine sia il
punto medio del segmento $\overline{FF'}$. Allora i due fuochi
avranno coordinate $(\pm c,0)$. Il punto $P=(x,y)$ verifica la
condizione $d(P,F)-d(P,F')=2a$ se e solo se
$\displaystyle\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}-\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a$,
da cui segue
$$
\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}=2a+ \sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}
$$
$$
(x-c)^{2}-(x+c)^{2}=4a^{2}+4a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}
$$
$$
-4xc=4a^{2}+4a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}
$$
$$
-a^{2}-xc=a\sqrt{(x+c)^{2}+y^{2}}
$$
$$
x^{2}c^{2}+a^{4}+2a^{2}xc=a^{2}(x^{2}+c^{2}+2xc+y^{2})
$$
$$
x^{2}(c^{2}-a^{2})-a^{2}y^{2}=a^{2}(c^{2}-a^{2})
$$
e si arriva infine all'identità
\begin{equation}
\label{dis} \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{(c^{2}-a^{2})}=1.
\end{equation}
Adesso consideriamo il triangolo $FF'P$ \\
($F, F'$ fuochi, $P$ punto sull'iperbole).\\
Poichè in un triangolo la differenza, in valore assoluto, tra due
lati è minore del terzo abbiamo
$\displaystyle\overline{FF'}>|\overline{PF}-\overline{PF'}|$ cioè
$2c>2a$  da cui $c>a$. Possiamo allora porre $b^{2}=c^{2}-a^{2}$,
e la (\ref{dis}) rappresenta \,l'equazione canonica
dell'iperbole.\vspace{2mm}
\end{prop}




\textbf{L'Iperbole come luogo geometrico 2}
\begin{prop}
L'iperbole è il luogo dei punti del piano le cui distanze da un
fuoco e dalla relativa direttrice hanno rapporto costante uguale
ad  $e$ ($e$ si dice \emph{eccentricità} dell'iperbole).
\end{prop}
\textbf{Dimostrazione:} Dimostriamolo, ad esempio, per il fuoco
$F=(c,0)$ e la direttrice $\displaystyle x=\frac{a}{e}$. Per un
punto $P(x,y)$ la condizione è che
$$
\frac{d(P,F)}{d(P,d)}=e
$$
cioè
$$
\frac{\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}}{ \displaystyle|\frac{a}{e}-x|}=e
$$
$$
(x-c)^{2}+y^{2}=(a-ex)^{2}
$$
$$
x^{2}(1-e^{2})+y^{2}=a^{2}-c^{2}+2cx-2eax
$$
$$
x^{2}(1-e^{2})+y^{2}=2(c-ea)x+a^{2}-c^{2}
$$
ponendo $\displaystyle e=\frac{c}{a}$, $\ b^{2}=c^{2}-a^{2}$,
otteniamo l'equazione canonica  di un'iperbole.\vspace{2mm}\\
\textbf{Equazione polare dell'iperbole.}\vspace{1mm}\\
Consideriamo un'iperbole di fuoco $F$ e direttrice $d$.\\
Fissiamo un sistema di riferimento $(O,x,y)$ ortonormale in modo che:\\
- $O\equiv F $\\
- l'asse $x$ sia orientato da $O$ verso $d$.\\
Sia ora $h>0$ la distanza tra $O$ e il punto di intersezione tra
$d$ e l'asse $x$, $\rho$ la lunghezza del vettore
$\overrightarrow{OP}$, $\theta$ è l'angolo che
$\overrightarrow{OP}$ forma con l'asse x.\\




Si ha $d(P,F)=\rho$ e $d(P,d)=|h-\rho\cos\theta|.$ Sostituendo a
$\displaystyle\frac{d(P,F)}{d(P,d)}=e$ si ottiene
\begin{equation}
\label{polare}
\rho=e|h-\rho\cos\theta|
\end{equation}
Distinguiamo ora due casi:
\begin{itemize}
\item $P(x,y)$ tra $F$ e $d$; allora $\rho\cos\theta<h$ e (\ref{polare})
diventa, risolvendo rispetto a $\rho$,
$$
\rho=\displaystyle\frac{eh}{1+e\cos\theta}\\.
$$
\item $P(x,y)$ ed $F$ si trovano in due semipiani distinti rispetto a $d$;
allora $\rho\cos\theta>h$ e (\ref{polare}) diventa, risolvendo
rispetto a $\rho$,
$$
\rho=\displaystyle\frac{eh}{e\cos\theta-1}\\.
$$
\end{itemize}
Il secondo caso è possibile solo se $e>1$ $(c>a)$.\\
Quindi si ottiene
$$
\mathcal{C}= \left\{
\begin{array}{rcl}
\rho=\displaystyle\frac{eh}{1+e\cos\theta}\\
\vspace{1mm}\\
\rho=\displaystyle\frac{eh}{e\cos\theta-1} & (e>1)\\
\end{array}
\right.
$$
che sono le equazione dei due rami di iperbole. Tale equazione è
detta \textit{equazione polare dell'iperbole}.\\
\vspace{80mm}\\
\textbf{Rappresentazione parametrica dell'iperbole.}\vspace{1mm}\\
L'iperbole
$\mathcal{C}:\displaystyle\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
si può rappresentare parametricamente così:
$$
\mathcal{C}:
\left\{
\begin{array}{rcl}
x=a\cosh t\\
y=b\sinh t & (t\in\mathcal{R})
\end{array}
\right.
$$
Infatti le funzioni seno iperbolico e coseno iperbolico sono
definite da:
$$
\displaystyle\cosh t=\frac{(e^{t}+e^{-t})}{2}, \, \,
\displaystyle\sinh t=\frac{(e^{t}-e^{-t})}{2}
$$
 dove $t$ è un parametro reale. Poichè si ha che
$$
\cosh^{2}t-\sinh^{2}t=1
$$
ponendo
$$
\cosh^{2}t=\frac{x^{2}}{a^{2}}, \, \, \,
\sinh^{2}t=\frac{y^{2}}{b^{2}}
$$
si vede che l'iperbole ammette tale rappresentazione parametrica.\\
Un'altra rappresentazione è la seguente:
$$
\mathcal{C}=
\left \{
\begin{array}{rl}
\displaystyle x=a\frac{1+t^{2}}{1-t^{2}}\\
\vspace{1mm}\\
\displaystyle y=b\frac{2t}{1-t^{2}} & (t\neq \pm1)
\end{array}
\right.
$$
Da quest'ultima rappresentazione l'iperbole, come nel caso
dell'ellisse, è detta essere una \textit{curva razionale}.\vspace{7mm}\\
PROPRIETA' OTTICHE DELL'IPERBOLE.\vspace{1mm}\\

L'iperbole, come l'ellisse, possiede proprietà ottiche. Supponiamo
di avere un riflettore di forma iperbolica, e poniamo una sorgente
luminosa in uno dei due fuochi. Allora i raggi vengono riflessi
lungo una traiettoria ottenuta congiungendo l'altro fuoco con il
punto di riflessione. Si comportano cioè come se provenissero
dall'altro fuoco.




Per dimostrare tale risultato consideriamo la figura seguente e
supponiamo che in F vi sia una sorgente luminosa di cui uno dei
raggi sia incidente in P. Prendiamo ora la retta passante per $F'$
e P. Supponiamo ora (lo dimostreremo poi) che la bisettrice
dell'angolo $\widehat{F'PF}$ coincida con la retta tangente
all'iperbole nel punto $P$. Sia ora B un punto qualsiasi di tale
bisettrice e $\overline{FG}$ sia perpendicolare a $\overline{BP}$.
Prendiamo ora, la retta passante per P e perpendicolare a
$\overline{BP}$, N punto interno al ramo di iperbole sulla retta
per P . Segue che $\overline{NP}$ e $\overline{GF}$ sono rette
parallele, il triangolo GPF è isoscele, gli angoli in
$\widehat{G}$ ed in $\widehat{F}$ di tale triangolo sono uguali.
D'altronde l'angolo $\widehat{F}$ è uguale all'angolo di incidenza
$\widehat{APN}$ essendo questi angoli alterni interni, e l'angolo
$\widehat{G}$ è uguale all'angolo in $\widehat{P}$, essendo questi
angoli corrispondenti. Pertanto l'angolo di incidenza
$\widehat{FPN}$ è uguale all'angolo $\widehat{APN}$. Da questo
risultato e dalla legge di riflessione della luce (angolo di
incidenza$=$angolo di riflessione )concludiamo che quest'ultimo
angolo è proprio l'angolo di riflessione. Abbiamo quindi
dimostrato che il raggio riflesso passa per una traiettoria
uscente dall'altro fuoco.

Per dimostrare che la bisettrice $\overline{BP}$ è allo stesso
tempo la tangente all'iperbole nel punto P basta vedere che, con
riferimento sempre alla figura seguente,
$\overline{BF'}<\overline{BG}+\overline{GF'}$, quindi
$\overline{BF'}-\overline{BF}<\overline{BG}+\overline{GF'}-\overline{BF}$,
e poichè $\overline{BG}=\overline{BF}$ (GBF triangolo isoscele),
allora $\overline{BF'}-\overline{BF}<\overline{GF'}=
\overline{PF'}-\overline{PG}=\overline{PF'}-\overline{PF}=2a$.
Questo mi dice che il punto B è esterno al ramo di iperbole
passante per P; cioè la bisettrice $\overline{BP}$ incontra
l'iperbole soltanto nel punto P ed è appunto la retta tangente
all'iperbole nel punto P.


\section[Parabola]{Parabola.}

Una parabola \`e una curva piana di equazione:
$$
\mathcal C:y^2=2px \,\,\,\,\,con\,\,\, p\in\mathbf{R}, p\neq0.
$$
\vspace{2mm}
\textbf{Regione in cui si trova la curva}.\vspace{1mm}\\
Il grafico della parabola $\mathcal C:y^2=2px$ è contenuto
nell'insieme dei punti $P=(x,y)$ del piano tali che:
$$
x\geq0 \; \, se \; \; p>0\\
$$
$$
x\leq0 \; \, se \; \; p<0
$$
\emph{Dimostrazione}\\
Per dimostrare ciò consideriamo le rette:
\begin{itemize}
\item $y=c, c\in\mathbf R$ (rette parallele all'asse $x$)
\item $x=c, c\in\mathbf R$ (rette parallele all'asse $y$).
\end{itemize}
e andiamo a studiare le intersezioni di tali rette con la parabola
$\mathcal C.$
\begin{itemize}
\item Nel primo caso otteniamo $c^2=2px$, cioè
$x=\displaystyle\frac{c^2}{2p}$. Quindi le rette del tipo $y=c$
intersecano la parabola in un punto.
\item Nel secondo caso, se $c\neq0$ otteniamo $y^2=2pc$, cioè $y=\pm\sqrt{2pc}$.
Quindi le rette del tipo $x=c$ \, ($c\neq0$) intersecano la
parabola in due punti reali e distinti se $p$ e $c$ hanno lo
stesso
segno, in due punti complessi coniugati se $p$ e $c$ hanno segno opposto.\\
Se $c=0$, la retta $x=0$ è tangente alla parabola (cioè ci sono
due intersezioni coincidenti nell'origine $O=(0,0)$ delle
coordinate).
\end{itemize}
\begin{oss}
Le rette $y=mx$ tagliano la parabola in due punti distinti tranne
il caso $m=0$ . Infatti andando a sostituire $y=mx$ a $\mathcal C$
otteniamo $m^2x^2=2px$. Se $m\neq0$ abbiamo che $x(m^2-2px)=0$ se
e solo se $x=0$ oppure $x=\displaystyle\frac{m^2}{2p}$. Se invece
$m=0$ allora l'unica soluzione è $x=0$.

Non vi sono quindi, al contrario di quanto accade per l'iperbole,
rette per l'origine che non incontrano $\mathcal C$ ad eccezione
dell'asse delle ascisse.
\end{oss}
\vspace{2mm}




\textbf{Simmetrie}.\vspace{1mm}\\
Poichè la variabile $y$ compare soltanto al quadrato $\mathcal C$
è simmetrica rispetto all'asse $x$. La parabola non ha altri assi
di simmetria nè centro di simmetria.
\begin{itemize}
\item L'asse $x$ si chiama \textit{asse} della parabola.
\end{itemize}
Il punto di coordinate $V=(0,0)$ è il punto di intersezione di
$\mathcal C$ con l'asse di simmetria. Tale punto si chiama
\textit{vertice} della parabola.\\
\vspace{2mm}
\textbf{Fuoco della parabola}.\vspace{1mm}\\
Il punto di coordinate ($\displaystyle\frac{p}{2}$,0) è il
\textit{fuoco} della parabola. La retta $\displaystyle\
x=-\frac{p}{2}$ è detta \textit{direttrice} della parabola.




\begin{oss}
Vertice $V$ e fuoco $F$ sono entrambi sull'asse di simmetria. Tale
asse è ortogonale alla direttrice $d$.
\end{oss}
\begin{oss}
Dalla  definizione di \textit{fuoco} e di \textit{direttrice}
segue che $|p|$ è la distanza tra fuoco e direttrice.
\end{oss}
\begin{ese}
Trovare l'equazione della parabola di vertice $V=(0,0)$\,e avente
direttrice \,\,
d:$\displaystyle\ x=-\frac{3}{2}$. Trovare poi il fuoco.\\
\textbf{Soluzione:} Si ha $\mathcal{C}:y^2=6x$, $\displaystyle
F=(\frac{3}{2},0)$
\end{ese}
\begin{ese}
Trovare la parabola la cui distanza tra fuoco e direttrice è $5$,
con $x$ asse di simmetria. Trovarne poi fuoco e direttrice.\\
\textbf{Soluzione:}
\begin{itemize}
\item Se il fuoco è nella parte positiva dell'asse
delle $x$, si ha $\displaystyle F=(\frac{5}{2},0),\\
d:x=-\frac{5}{2}$, e $y^2=10x$ è l'equazione cercata.
\item Se il fuoco è nella parte negativa dell'asse
delle $x$, si ha $\displaystyle F=(-\frac{5}{2},0),\\
d:x=\frac{5}{2}$, e $y^2=-10x$ è l'equazione cercata.
\end{itemize}
\end{ese}
\begin{oss}[Parabola con asse verticale]
L'equazione $\displaystyle Y=\frac{1}{2p}X^2$ è una parabola con
asse di simmetria l'asse $Y$. La verifica è immediata, basta
infatti prendere  $\mathcal{C}$ di equazione $y^2=2px$ e fare un
cambiamento di coordinate del tipo
\begin{equation}
\label{asseverticale}
\left\{
\begin{array}{c}
x=Y\\
y=X.
\end{array}
\right.
\end{equation}
Ovviamente nel nuovo sistema di riferimento il vertice sarà
sempre\\ $V=(0,0)$, il fuoco sarà $\displaystyle
F=(0,\frac{p}{2})$, la direttrice sarà $\displaystyle
Y=-\frac{p}{2}$.




\end{oss}
\begin{ese}
Trovare l'equazione della parabola con asse di simmetria parallelo
all'asse delle $y$ e avente direttrice d: $\displaystyle
y=-\frac{7}{2}$. Trovare
poi il fuoco della parabola.\\
\textbf{Soluzione:} Si ha
$\displaystyle\mathcal{C}:y=\frac{1}{14}x^2$, $\displaystyle
F=(0,\frac{7}{2})$ \vspace{2mm}
\end{ese}
\textbf{Una forma più generale}\vspace{1mm}\\
Un'equazione del tipo
\begin{equation}
\label{parabola} y=ax^2+bx+c\\
\end{equation}
$$
con\,\,\,a,b,c \in\mathbf{R}, \,\,a\neq0
$$
rappresenta ancora una parabola (con asse verticale).\\
\emph{Dimostrazione}\\
Cerchiamo di trasformare l'equazione (\ref{parabola}) in una della
forma $Y=aX^2$ mediante una traslazione
$$
\left\{
\begin{array}{c}
x=X+h\\
y=Y+k
\end{array}
\right.
$$
Sostituendo nell'equazione (\ref{parabola}) otteniamo
$$
Y+k=a(X+h)^{2}+b(X+h)+c
$$
cioè
$$
Y=aX^2+X(2ah+b)+(ah^2+bh+c-k).
$$
Imponiamo adesso che
$$
\left\{
\begin{array}{c}
2ah+b=0\\
ah^2+bh+c-k=0
\end{array}
\right.
$$
da cui
$$
\left\{
\begin{array}{c}
h=-\displaystyle\frac{b}{2a}\\
\vspace{1mm}\\
k=ah^2+bh+c
\end{array}
\right.
$$
quindi
\begin{equation}
\label{traslazione}
 \left\{
\begin{array}{c}
\displaystyle x=X-\frac{b}{2a}\\
\vspace{2mm}\\
\displaystyle y=Y+\frac{4ac-b^2}{4a}
\end{array}
\right.
\end{equation}
Riassumendo l'equazione $y=ax^2+bx+c$ si riduce alla forma
canonica $Y=aX^2$, $\displaystyle a= \frac{1}{2p}$, mediante la
traslazione (\ref{traslazione}).

Cosa importante è che, sempre per (\ref{traslazione}), ricordando
che $\displaystyle\frac{p}{2}=\frac{1}{4a}$
\begin{itemize}
\item il vertice di $y=ax^2+bx+c$ è di coordinate $\displaystyle
V=\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$ (basta porre
$X=Y=0$ in (\ref{traslazione})).
\item il fuoco è $\displaystyle F=\left(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2+1}{4a}\right)$\\
(ponendo $X=0, Y=\displaystyle\frac{p}{2}=\frac{1}{4a}$ in
(\ref{traslazione})).
\item la direttrice è $\displaystyle d:y=\frac{4ac-b^2-1}{4a}$.
\end{itemize}
Analogamente si vede che:
\begin{oss}
L'equazione $x=ay^2+by+c$ è una parabola con $x$ come asse di
simmetria, e
\begin{itemize}
\item $\displaystyle V=\left(\frac{4ac-b^2}{4a},-\frac{b}{2a}\right)$\\
\item $\displaystyle F=\left(\frac{4ac-b^2+1}{4a},-\frac{b}{2a}\right)$\\
\item $\displaystyle d:x=\frac{4ac-b^2-1}{4a}$.
\end{itemize}
\end{oss}
\begin{ese}
Studiare la parabola $\mathcal{C}:y=3x^{2}+2x-3$.\\
\textbf{Soluzione 1}\\
Riscriviamo l'equazione nel modo seguente (\emph{metodo del
completamento dei quadrati}):
$$
\displaystyle
y=3\left(x^2+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}\right)-3-\frac{1}{3}
$$
$$
\left(y+\frac{10}{3}\right)=3\left(x+\frac{1}{3}\right)^2
$$
con la traslazione
$$
\left \{
\begin{array}{c}
X=x+\displaystyle\frac{1}{3}\vspace{2mm}\\
Y=y+\displaystyle\frac{10}{3}
\end{array}
\right.
$$
l'equazione diventa $Y=3X^2,p=\displaystyle\frac{1}{6}$

\begin{itemize}
\item Rispetto alle coordinate $X, Y$ l'asse è $X=0$ (asse $Y$), il vertice è
      $V=(0,0)$, il fuoco è $F=(0,\displaystyle\frac{p}{2})=(0,\displaystyle\frac{1}{12})$,
      la direttrice è $Y=-\displaystyle\frac{1}{12}$\\
\item Rispetto agli assi $x,y$ l'asse è $x=-\displaystyle\frac{1}{3}$,
      il vertice è $V=(-\displaystyle\frac{1}{3},-\displaystyle\frac{10}{3})$,
      il fuoco è $\displaystyle F=(X-\frac{1}{3},Y-\frac{10}{3})=(-\frac{1}{3},-\frac{39}{12})$,
      la direttrice è $y=-\displaystyle\frac{41}{12}$\\
\end{itemize}
\textbf{Soluzione 2}\\
poichè $a=3, b=2, c=-3$ coefficienti di una parabola con l'asse
$y$ asse di simmetria basterà applicare le formule
(\ref{traslazione}) per pervenire agli stessi risultati.
\vspace{2mm}
\end{ese}
\textbf{La parabola come luogo geometrico.}
\begin{prop}
La parabola è il luogo dei punti del piano le cui distanze da un
fuoco e dalla relativa direttrice hanno rapporto costante uguale
ad $e$\\ ( $e$ \emph{eccentricità} della conica, nel caso della
parabola è sempre uguale a $1$).
\end{prop}
\textbf{Dimostrazione:} \,L'eccentricità della parabola è $e=1$.
Siano $F=(\displaystyle\frac{p}{2},0)$ il fuoco, $\displaystyle
d:x=-\frac{p}{2}$ la direttrice. Per un punto $P(x,y)$ la
condizione è che
$$
\frac{d(P,F)}{d(P,d)}=1
$$
cioè
$$
d(P,F)=d(P,d)
$$
$$
\displaystyle\sqrt{(x-\frac{p}{2})^2+y^2}=x+\frac{p}{2}
$$
$$
\displaystyle x^2+(\frac{p}{2})^2-px+y^2=x^2+(\frac{p}{2})^2+px
$$
$$
y^2=2px
$$
che è proprio l'equazione canonica della parabola con asse
coincidente con l'asse delle $x$.




Per ottenere l'equazione di $\mathcal{C}$ con asse coincidente con
l'asse delle $y$ attraverso la definizione di luogo geometrico
basta applicare il cambiamento di coordinate (\ref{asseverticale})
al fuoco e alla direttrice. Sostituendo poi a $d(P,F)=d(P,d)$
otterremo l'equazione cercata.
\begin{ese}
Trovare l'equazione della parabola di direttrice $d:y=-4$ e
fuoco $F(0,4)$.\\
\textbf{Soluzione:} Si tratta di una parabola con asse di
simmetria verticale. Sia $P=(x,y)$ un punto sulla parabola. Poichè
$d(P,F)=d(P,d)$ sostituendo abbiamo:
$$
x^2+(y-4)^2=(y+4)^2
$$
allora, eseguendo i calcoli abbiamo che l'equazione cercata è:
$$
x^2=16y
$$
\vspace{2mm}
\end{ese}
\textbf{Equazione polare della Parabola.}\vspace{1mm}\\
Consideriamo una parabola di fuoco $F$, direttrice $d$ ed un punto
$P(x,y)$ sulla parabola.\\
Fissiamo ora un sistema di riferimento $(O,x,y)$ ortonormale in modo che:\\
- $O\equiv F $, cioè l'origine degli assi coincida con il fuoco.\\
- l'asse $x$ sia orientato da $O$ verso $d$.\\
Adesso prendiamo $p>0$ la distanza tra l'origine $O$ e il punto di
intersezione tra la direttrice d con l'asse $x$, $\rho$ la
lunghezza del vettore $\overrightarrow{OP}$, $\theta$ l'angolo che
$\overrightarrow{OP}$ forma con l'asse $x$. Per costruzione quindi
$d(P,F)=\rho$ e $d(P,p)=p-\rho\cos\theta.$ Se prima sostituiamo a
$\displaystyle\frac{d(P,F)}{d(P,d)}=e$ \,ed esplicitiamo poi
$\rho$ si ottiene:
$$
\rho=\displaystyle\frac{ep}{1+e\cos\theta}\\
p>0
$$
Poichè $e=1$, allora
$$
\rho=\displaystyle\frac{p}{1+\cos\theta}\\
p>0.
$$
Tale equazione si chiama \textit{equazione polare della
parabola}.\vspace{2mm}\\
\textbf{Rappresentazione parametrica della Parabola}\vspace{1mm}\\
La parabola si può rappresentare parametricamente così:
$$
\left \{
\begin{array}{c}
 x=t\\
 \displaystyle y=\frac{1}{2p}t^2
\end{array}
\right.
$$
Da qui si vede che la parabola è una curva razionale come le altre
coniche.
\begin{ese}
Trovare la parabola $\mathcal{C}$ con l'asse parallelo all'asse
delle $y$ e passante per i punti $O=(0,0), P(1,2), Q(-1,1)$.\\
\textbf{Soluzione.} $\mathcal{C}$ ha equazione $y=ax^{2}+by+c.$
Sostituendo le coordinate di $O,P,Q$ nell'equazione si trovano le
relazioni $c=0, 2=a+b, 1=a-b$, da cui
$a=\displaystyle\frac{3}{2}$, $b=\displaystyle\frac{1}{2}$, $c=0$.
La parabola cercata è dunque
$$
\mathcal{C}:y=(\frac{3}{2})x^{2}+(\frac{1}{2})x.
$$
\vspace{2mm}
\end{ese}
PROPRIETA' OTTICHE DELLA PARABOLA\vspace{1mm}\\

Conoscendo il calcolo differenziale si puo dimostrare che un
raggio di luce uscente dal fuoco F e riflesso secondo le leggi
dell'ottica, da un elemento di parabola, assimilato alla sua
tangente in quel punto, prosegue in direzione parallela all'asse
della parabola. Questa  è una proprietà che viene utilizzata per
la realizzazione di riflettori, di fari, di telescopio, ecc. Tutti
questi hanno la forma di paraboloidi rotondi, ( si può pensare ad
una superfice ottenuta dalla rotazione di una parabola intorno al
proprio asse di simmetria).

Se la parete interna di tale superfice è composta da un materiale
riflettente, mettendo una sorgente luminosa(una lampadina, una
candela)in corrispondenza del fuoco, si ha che tutti i raggi
vengono riflessi secondo una direzione parallela all'asse. Questo
è quello che avviene per esempio nei riflettori parabolici (i fari
delle automobili per esempio).

Viceversa questa caratteristica può anche essere sfruttata per
concentrare in un punto i raggi provenienti da direzioni
parallele. Come avviene per esempio nei telescopi a riflessione.
Se la superfice interna di un paraboloide di rotazione è uno
specchio, si possono concentrare tutti i raggi di luce prevenienti
da un corpo celeste posto in direzione dell'asse, in uno stesso
punto cioè nel fuoco. Così si ottiene una immagine del corpo
celeste che può essere osservata in uno speciale telescopio.



\section[Esercizi]{Esercizi}

\subsection*{Ellisse}


\quad \textbf{1.}\\
Scrivere l'equazione dell'ellisse avente per assi gli assi
coordinati e passante per i punti $P=(2;3)$, $Q=(4;-1)$.\\
\textbf{Soluzione}\\
Se imponiamo all'equazione generale dell'ellisse
$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ il passaggio per
i punti $P, Q$ otteniamo
$\displaystyle\frac{4}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1$, e
$\displaystyle\frac{16}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$. Poniamo ora
$\displaystyle\frac{1}{a^2}=u, \displaystyle\frac{1}{b^2}=v$ da
cui si ricava il sistema:
$$
\left \{
\begin{array}{rl}
4u+9v=1\\
16u+v=1
\end{array}
\right.
$$
che ha soluzioni per $u=\displaystyle\frac{2}{35}$,
$v=\displaystyle\frac{3}{35}$. L'equazione cercata \`e quindi\\
$\displaystyle\frac{2x^2}{35}+\frac{3y^2}{35}=1$.\vspace{5mm}

\textbf{2.}\\
Scrivere l'equazione dell'ellisse il cui semiasse maggiore \`e
4 e i cui fuochi hanno coordinate $(\pm\sqrt{7};0)$.\\
\textbf{Soluzione}\\
I fuochi sono sull'asse x, dunque $a$ è il semiasse maggiore;
poich\`e $c^2=a^2-b^2$ allora $b=\pm 3$, da cui:
$\displaystyle\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$.\vspace{5mm}

\textbf{3.}\\
Scrivere l'equazione dell'ellisse il cui semiasse minore \`e $2$
con eccentricit\`a $\displaystyle e=\frac{1}{\sqrt{5}}$ e fuochi
sull'asse delle $x$.\\
\textbf{Soluzione}\\
Poich\`e $\displaystyle
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2-4}}{a}=\frac{1}{\sqrt{5}}$ allora
$a^2=5$, da cui
$\displaystyle\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$.\vspace{5mm}

\textbf{4.}\\
Scrivere l'equazione dell'ellisse con eccentricit\`a
$\displaystyle e=\frac{2}{3}$ e semiasse maggiore $a=3$.\\
\textbf{Soluzione}\\
Poich\`e  $\displaystyle
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{9-b^2}}{3}=\frac{2}{3}$ allora $b^2=5$,
da cui $\displaystyle\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$.

\subsection*{Iperbole}

\quad \textbf{1.}\\
Scrivere l'equazione dell'iperbole avente per assi gli assi
coordinati e passante per i punti $P=(2;3)$, $Q=(4;7)$.\\
\textbf{Soluzione}\\
Se imponiamo all'equazione generale dell'iperbole
$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ il passaggio per
i punti $P, Q$ otteniamo
$\displaystyle\frac{4}{a^2}-\frac{9}{b^2}=1$, e
$\displaystyle\frac{16}{a^2}-\frac{49}{b^2}=1$. Poniamo ora
$\displaystyle\frac{1}{a^2}=u, \displaystyle\frac{1}{b^2}=v$ da
cui si ricava il sistema:
$$
\left \{
\begin{array}{ll}
4u-9v=1\\
16u-49v=1
\end{array}
\right.
$$
che ha soluzioni per $u=\displaystyle\frac{10}{13}$,
$v=\displaystyle\frac{3}{13}$. L'equazione cercata \`e quindi\\
$\displaystyle\frac{10x^2}{13}-\frac{3y^2}{13}=1$.\vspace{5mm}

\textbf{2.}\\
Scrivere l'equazione dell'iperbole che ha i vertici in $V=(\pm
3;0)$ e distanza focale (distanza tra i fuochi) uguale a $10$.\\
\textbf{Soluzione}\\
La distanza focale \`e $2c=10$; poich\`e $b^2=c^2-a^2$ allora
$b^2=16$, da cui:
$\displaystyle\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$.\vspace{5mm}

\textbf{3.}\\
 Scrivere l'equazione dell'iperbole avente per
vertici
$V=(\pm 2;0)$ e fuochi $F=(\pm \sqrt{7};0)$.\\
\textbf{Soluzione}\\
Poich\`e $b^2=c^2-a^2=7-4=3$ abbiamo che l'equazione dell'iperbole
\`e $\displaystyle\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$.\vspace{5mm}

\textbf{4.}\\
Scrivere l'equazione dell'iperbole con vertici
$V=(\pm2\sqrt{2};0)$ e
passante per il punto $P=(4;-\sqrt{6})$.\\
\textbf{Soluzione}\\
Poich\`e $a=8$ allora
$\displaystyle\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{b^2}=1$ a cui imponiamo la
condizione di passaggio per il punto e da cui si ottiene $b^2=6$.
Quindi, l'equazione dell'iperbole cercata \`e
$\displaystyle\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{6}=1$.\vspace{9mm}

\textbf{5.}\\
Scrivere l'equazione dell'iperbole con asintoti
$y=\pm\displaystyle\frac{3}{4}x$.\\
\textbf{Soluzione}\\
L'equazione cercata \`e
$\displaystyle\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$.

\subsection*{Parabola}

\quad \textbf{1.}\\
Trovare l'equazione della parabola con fuoco $F=(3;0)$, e
direttrice $d=-3$.\\
\textbf{Soluzione}\\
Poich\`e dalla definizione di fuoco sappiamo che
$\displaystyle\frac{p}{2}=3$ abbiamo che l'equazione cercata \`e
$y^2=12x$.\vspace{5mm}

\textbf{2.}\\
Trovare fuoco e direttrice della parabola di equazione $y^2=16x$.\\
\textbf{Soluzione}\\
Dalla definizione di parabola abbiamo che $2p=16$ da cui abbiamo
che il fuoco \`e $F=(4;0)$ e la direttrice \`e $x=-4$.\vspace{5mm}

\textbf{3.}\\
Scrivere l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse
delle y e passante per i punti $P=(0;3), Q=(4;0), T=(6;9)$.\\
\textbf{Soluzione}\\
Data l'equazione della parabola $y=ax^2+bx+c$, imponiamo il
passaggio per i tre punti. Si ottiene quindi il sistema:
$$
\left \{
\begin{array}{lr}
c=3\\
16a+4b+c=0\\
36a+6b+c=9
\end{array}
\right.
$$

Risolvendo il sistema (i calcoli li lasciamo al lettore) otteniamo
che:\\ $a=\displaystyle\frac{7}{8}, b=-\displaystyle\frac{51}{12}$
da cui
$y=\displaystyle\frac{7}{8}x^2-\displaystyle\frac{51}{12}x+3$.\vspace{5mm}

\textbf{4.}\\
Scrivere l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse
delle y e passante per il punto $P=(-1;2)$ e con vertice $V=(-2;3)$.\\
\textbf{Soluzione}\\
Data l'equazione della parabola $y=ax^2+bx+c$, essa ha come
vertice il punto di coordinate
$\left(\displaystyle\frac{b}{2a};\displaystyle\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$,
imponiamo inoltre il passaggio per il punto $P$; da qui si ottiene
il seguente sistema:
$$
\left \{
\begin{array}{ll}
a-b+c=2 \vspace{1mm}\\
\displaystyle\frac{b}{2a}=-2 \vspace{2mm}\\
\displaystyle\frac{4ac-b^2}{4a}=3
\end{array}
\right.
$$
Il sistema ha come soluzioni $a=-\displaystyle\frac{1}{9},
b=\displaystyle\frac{4}{9}, c=\displaystyle\frac{23}{9}$.
L'equazione cercata \`e quindi
$y=-\displaystyle\frac{1}{9}x^2+\displaystyle\frac{4}{9}x+\displaystyle\frac{23}{9}$.



\chapter[Classificazione affine ed euclidea delle coniche]{Classificazione affine ed euclidea delle coniche}

\section[Coniche e diagonalizzazione di forme quadratiche]{Coniche e diagonalizzazione di forme quadratiche}

Sia $\mathcal{A}=(a_{ij})$ una matrice simmetrica a coefficienti
reali $n\times n$,\\
consideriamo ora:\\
\vspace{3mm}
$H_\mathcal{A}:\mathbf{R}^n\times \mathbf{R}^n\rightarrow \mathbf{R}$ la forma bilineare ad essa associata,\\
\vspace{3mm}
$Q_\mathcal{A}:\mathbf{R}^n\rightarrow \mathbf{R}$ la forma quadratica ad essa associata.\\
Per il teorema spettrale, siano
$\lambda_1,\ldots,\lambda_n\in\mathbf{R}$ autovalori di
$\mathcal{A}$ (tutti reali dato che $\mathcal{A}$ è simmetica reale) e $v_1,\ldots,v_n\in\mathbf{R^n}$ una base
ortonormale di autovettori, tali cioè che $\mathcal{A}v_i=\lambda_iv_i$ con $i=1\ldots n$.\\

$\forall \,\,x,y\in\mathbf{R}^n$ si può scrivere
$H_\mathcal{A}(x,y)=x^t\mathcal{A}y=<x,\mathcal{A}y>$; rispetto
alla base di autovettori avremo allora che
$$
H_\mathcal{A}(v_i,v_j)=<v_i,\mathcal{A}v_j>=\lambda_j<v_i,v_j>=
\left \{
\begin{tabular}{lcr}
0 & se & i $\neq j$\\
$\lambda_j$ & se & $i=j$
\end{tabular}
\right.
$$
da cui si vede che la matrice di $H_\mathcal A$ rispetto alla base
$v=(v_1,\ldots,v_n)$, ortonormale, sarà:
$$
{\mathcal D} = \left(
\begin{array}{cccc}
\lambda_1 & 0         & \cdots & 0 \\
0         & \lambda_2 & \cdots & 0 \\
\vdots    & \vdots    &\ddots  &\vdots \\
0         &   0       & \cdots & \lambda_n
\end{array}
\right).
$$
Consideriamo ora $x,y\in \mathbf R^n$, rispetto alla base $v$
possiamo scriverli come: $x=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \xi_iv_i$
\, e \, $y=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} \eta_iv_i$, dove
$\xi=(\xi_1,\ldots,\xi_n),\, \eta=(\eta_1,\ldots,\eta_n)\in\mathbf
R^n$ sono le coordinate di $x,y$ rispetto alla base $v$. Se
sostituiamo otteniamo che
\begin{eqnarray*}
H_\mathcal A(x,y)&=& <x,\mathcal Ay>=<\sum_i\xi_iv_i,\mathcal
A\sum_i\eta_iv_i>\\
                 &=&\sum_i<\xi_iv_i,\lambda_iv_i\eta_i>=\sum_i\lambda_i\xi_i\eta_i<v_i,v_j>\\
                 &=&\sum_i\lambda_i\xi_i\eta_i
\end{eqnarray*} che è appunto la forma bilineare espressa rispetto ai
vettori della base ortonormale. Adesso se prendiamo in
considerazione la forma quadratica abbiamo che:
\begin{eqnarray*}
Q_\mathcal A(x) &=&
                  H_\mathcal A(x,x)=x^t\mathcal{A}x=<x,\mathcal{A}x>\\
                &=& \sum_i\lambda_i \xi_i^2
\end{eqnarray*}
che è la \textit{forma quadratica espressa rispetto alla base
ortonormale di autovettori.} Quindi data una forma quadratica
$Q_\mathcal A$, è possibile trovare una base rispetto alla quale
$Q_\mathcal A$ ha espressione più semplice: la matrice che la
rappresenta è \textit{diagonale} e $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$
sono gli \textit{autovalori} di $\mathcal A$.

Applichiamo quanto detto sin ora allo studio delle coniche e
facciamo alcuni esempi che illustrano il procedimento di riduzione
a forma canonica di una conica.
\begin{ese}
In $\mathbf R^2$, data la curva di equazione $9x^2+4xy+6y^2=10$,
trovare di che tipo di conica si tratta.\\
\textbf{Soluzione}: Posto $q(x,y)=9x^2+4xy+6y^2$, essa è una forma
quadratica che ha come matrice
$$
\mathcal A= \left(
\begin{array}{lr}
9 & 2\\
2 & 6
\end{array}
\right),
$$
 $q=Q_\mathcal{A}$. Il polinomio caratteristico di $\mathcal A$ è $p_\mathcal
A(\lambda)=\lambda^2-15\lambda+50$ con autovalori $\lambda_1=10,
\lambda_2=5$.

Adesso, poichè \,$(\mathcal A-10\mathcal I)=\left(
\begin{array}{rc}
-1 & 2\\
 2 & 4
\end{array}
\right)$, risolviamo il sistema \\
$(\mathcal A-10\mathcal I)X=0$, con $X\in\mathbf R^2$, e troviamo
che il vettore $(2,1)\in V_{10}$ (dove $V_{10}$ è autospazio
relativo all'autovalore $\lambda_1=10$); normalizziamo, e abbiamo
che $v_1=\displaystyle\frac{1}{\sqrt 5}(2,1)$. Per trovare l'altro
autovettore basterà risolvere il sistema precedente con
$\lambda_2=5$ oppure sfruttare il fatto che $V_5=V_{10}^\bot$, poi
normalizzare, allora $v_2=\displaystyle\frac{1}{\sqrt5}(-1,2)$.

$V=\{v_1, v_2\}$ rappresenta una base ortonormale di autovettori
di $\mathbf R^2$. Consideriamo $(x,y)\in\mathbf R^2$ e $\mathcal
P=\mathcal M_{ev}(id)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt5} \left(
\begin{array}{lr}
2 &-1\\
1 & 2
\end{array}
\right)$ la matrice del cambiamento di base dalla base canonica di
$\mathbf R^2$ alla base $V$; siano poi $\xi, \eta$ coordinate di $
\left(
\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}
\right)$ rispetto a $V$. $\mathcal P$ è ortogonale, cioè tale che
$\mathcal P^{-1}=\mathcal P^t$. Quindi $\left(
\begin{array}{c}
x\\
y
\end{array}
\right)=\mathcal P^{-1} \left(
\begin{array}{c}
\xi\\
\eta
\end{array}
\right)=\mathcal P^t \left(
\begin{array}{c}
\xi\\
\eta
\end{array}
\right)=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}\left(
\begin{array}{c}
2\xi+\eta\\
-\xi+2\eta
\end{array}
\right)$; allora la forma quadratica associata sarà:
$$
\displaystyle Q_\mathcal
A(\xi,\eta)=10\xi^2+5\eta^2=10\left(\frac{2x+y}{\sqrt
5}\right)^2+5\left(\frac{-x+2y}{\sqrt5}\right)^2.
$$

Riassumendo, siamo partiti dalla curva di equazione
$9x^2+4xy+6y^2=10$, che rispetto a $V$ è stata ridotta a
$10\xi^2+5\eta^2=10$, cioè $\displaystyle\xi^2+\frac{\eta^2}{2}=1$
che è l'equazione di un ellisse. Inoltre i suoi assi di simmetria
sono $<v_1>, <v_2>$ rette generate dagli autovettori.


\end{ese}
\begin{ese}
In $\mathbf R^2$ classificare la conica di
equazione \\
$x^2+6xy+y^2+2x+y+\displaystyle\frac{1}{2}=0$.\\
\textbf{Soluzione}: La parte quadratica dell'equazione è
$q(x,y)=x^2+6xy+y^2$ e la sua matrice associata è $\mathcal
A=\left(
\begin{array}{lr}
 1 & 3\\
 3 & 1
\end{array}
\right)$.\\
$p_\mathcal A(\lambda)=\lambda^2-2\lambda-8$ è il polinomio
caratteristico con radici $\lambda_1=4$, $\lambda_2=-2$, allora
$v_1=\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}(1,1)$,
$v_2=\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}(-1,1)$ è una base ortonormale
di autovettori. La matrice del cambiamento di coordinate è $
\mathcal P=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}} \left(
\begin{array}{cr}
1 & -1\\
1 &  1
\end{array}
\right)$, che ci permette di ottenere una forma diagonale di
$\mathcal A$. Consideriamo quindi la seguente trasformazione di
coordinate ortonormali:
$$
\left(
\begin{array}{c}
x\\y
\end{array}
\right)=\mathcal P^t\left(
\begin{array}{c}
\xi\\ \eta
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{cc}
\vspace{3mm}
\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\xi-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\eta\\
\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\xi+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\eta
\end{array}
\right),
$$essa trasformerà l'equazione data in $4\xi^2-2\eta^2+\displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}}\xi-
\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\eta+\displaystyle\frac{1}{2}=0$.
Vediamo ora come eliminare i termini di $1^\circ$ grado. Facciamo
la traslazione
$$
\left\{
\begin{array}{c}
\xi=X-\alpha\\
\eta=Y-\beta
\end{array}
\right.
$$da cui otteniamo:
$$
4X^2-2Y^2+(\displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}}-8\alpha)X+(-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}+4\beta)Y+
4\alpha^2-2\beta^2-\displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}}\alpha+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\beta+\frac{1}{2}=0.
$$
Se poniamo \,\, $8\alpha=\displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}}$,\,\,
$4\beta=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}$ e facciamo un po' di
calcoli, abbiamo che con la traslazione:
$$
\left\{
\begin{array}{c}
\xi=X-\displaystyle\frac{3\sqrt{2}}{16}\\
\eta=Y-\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{8}
\end{array}
\right.
$$
si ha un ulteriore semplificazione dell'equazione che elimina i
termini di $1^\circ$ grado, infatti otteniamo
$4X^2-2Y^2+\displaystyle\frac{9}{32}=0$ cioè:
$$
\displaystyle\frac{Y^2}{2}-X^2=\displaystyle\frac{9}{128}
$$che è l'equazione di un' iperbole con asse focale l'asse delle Y.



\end{ese}
\begin{oss}
Se interpretiamo quanto detto in termini di isometrie, abbiamo
trasformato la conica in un'altra in forma canonica mediante una
rotazione (con matrice $\mathcal P$) seguita da una traslazione.
In termini di cambiamento di coordinate, invece, abbiamo
introdotto un nuovo sistema di coordinate ortogonali in cui
l'equazione della conica diventa quella canonica.
\end{oss}
\begin{oss}[importante]
Abbiamo visto che, data una conica scritta in forma generale è
possibile ridurla, tramite un opportuno cambiamento di coordinate,
in una forma più semplice. In questo caso abbiamo effettuato una
\textsc{riduzione a forma canonica euclidea}, in quanto abbiamo
effettuato un cambiamento di riferimento ortonormale. Invece per
una \textsc{riduzione a forma canonica affine} si procede allo
stesso modo, tuttavia si tiene conto del fatto che i cambiamenti
di coordinate ammissibili sono di tipo affine quindi, per esempio,
l'equazione precedente può essere semplificata ulteriormente
mediante il cambiamento di coordinate (non ortogonale)
$$
\left\{
\begin{array}{c}
\vspace{2mm}
x=\displaystyle\frac{3}{\sqrt{2}}X\\
y=3Y
\end{array}
\right.
$$
da cui si ottiene l'equazione canonica affine $x^2-y^2-1=0$
\end{oss}

Diamo ora un metodo generale di riduzione a forma canonica e una
classificazione generale, sia euclidea che affine.

\section[Riduzione a forma canonica]{Riduzione delle coniche a forma canonica}

Consideriamo $\mathbf A^2(\mathbf R)$,  $\mathbf E^2(\mathbf R)$
rispettivamente il \textit{piano affine reale}, il \textit{piano
euclideo reale} in cui sono fissati dei riferimenti di coordinate
$X, Y$. Riprendiamo la definizione di conica:
\begin{defin}
Una conica $\mathcal C$ è il luogo dei punti del piano la cui
equazione è della forma:
\begin{equation}
\label{conicagen}
a_{11}x^2+a_{22}y^2+2a_{12}xy+2a_{13}x+2a_{23}y+a_{33}=0
\end{equation}
dove $a_{ij}\in \mathbf R$ e $a_{11}$, $a_{22}$, $a_{12}$ non sono
contemporaneamente tutti nulli.
\end{defin}

Poniamo ora $a_{12}=a_{12}$, $a_{13}=a_{31}$, $a_{23}=a_{32}$ e
consideriamo le seguenti matrici simmetriche reali
$$
\mathrm A=\left(
\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{12} & a_{22} & a_{23}\\
a_{13} & a_{23} & a_{33}
\end{array}
\right) \qquad \textit{matrice associata alla conica}
$$
\vspace{3mm}
$$
\hspace{5mm}\mathrm A_0=\left(
\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12}\\
a_{12} & a_{22}
\end{array}
\right) \qquad \textit{matrice dei termini di secondo grado}.
$$
Si noti che $\mathrm A_0$ è la matrice della forma quadratica\\
$q(x,y)=a_{11}x^2+2a_{12}xy+a_{22}y^2$.

Questo ci permette di rappresentare l'equazione (\ref{conicagen})
in forma matriciale scrivendo:
\begin{equation}
\label{conicamatr} \left(
\begin{array}{ccc}
x & y & 1 \\
\end{array}
\right) \mathrm A \left(
\begin{array}{c}
 x \\ y \\ 1
\end{array}
\right)=0.
\end{equation}
Anche il complesso dei termini di secondo grado può essere scritto
mediante il prodotto di matrici, ossia:
\begin{equation}
\label{formaquadratica} q(x,y)=\left(
\begin{array}{cc}
x & y
\end{array}
\right) \mathrm A_{0} \left(
\begin{array}{c}
x\\ y
\end{array}
\right).
\end{equation}
\begin{ese}
$\mathcal C:5x^2+y^2+2xy+4x+6y+1=0$, ha come matrici
$$
\mathrm A=\left(
\begin{array}{ccc}
 5 & 1 & 2\\
 1 & 1 & 3\\
 2 & 3 & 1
\end{array}
\right) \qquad \mathrm A_0=\left(
\begin{array}{cc}
5 & 1\\
1 & 1
\end{array}
\right)
$$
$\mathcal C:x^2+\pi y^2+2\sqrt{2}xy+8y=1$, ha come matrici
$$
\mathrm A=\left(
\begin{array}{ccc}
1 & \sqrt 2 & 0 \\
\sqrt 2 & \pi & 4\\
 0 & 4 & -1
\end{array}
\right) \qquad \mathrm A_0=\left(
\begin{array}{cc}
 1 & \sqrt 2\\
\sqrt 2 & \pi
\end{array}
\right)
$$
$\mathcal C:\alpha x^2=2\gamma y$, ha come matrici
$$
\mathrm A=\left(
\begin{array}{rrr}
 \alpha & 0 & 0\\
 0 & 0 &-\gamma \\
 0 & -\gamma& 0
\end{array}
\right) \qquad \mathrm A_0=\left(
\begin{array}{cc}
 \alpha & 0\\
  0& 0
\end{array}
\right).
$$
\end{ese}

Vogliamo ora semplificare il più possibile l'equazione
(\ref{conicagen}) e la tecnica consiste nel cambiare
opportunamente il sistema di riferimento (effettuare cioè una
trasformazione del piano) \textit{euclideo} oppure \textit{affine}.

Diamo ora le seguente definizioni:

\begin{defin}
Sia $\mathcal C$ una conica di $\mathbf A^2(\mathbf R)$. Una
conica $\mathcal D$ si dice affinemente equivalente a $\mathcal C$
se esiste un'applicazione affine T tale che $\mathcal C=T(\mathcal
D)$
\end{defin}
\begin{defin}
Sia $\mathcal C$ una conica di $\mathbf E^2(\mathbf R)$. Una
conica $\mathcal D$ si dice congruente a $\mathcal C$ se esiste
una isometria T tale che $\mathcal C=T(\mathcal D)$
\end{defin}

Consideriamo ora l'applicazione affine
\begin{equation}
\label{sostituzione} \left\{
\begin{array}{c}
x'=m_{11}x+m_{12}y+\alpha \\
y'=m_{21}x+m_{22}y+\beta
\end{array}
\right.
\end{equation}
che in forma matriciale si scrive
\begin{equation}
\left(
\begin{array}{c}
x'\\y'\\1
\end{array}
\right)= \left(
\begin{tabular}{ccc}
        & \multicolumn{2}{c}{$\alpha$}\\
\raisebox{1.5ex}[0cm][0cm]{$M$}
         &$\beta$                    \\
0\quad\,0&1                  \\
\end{tabular}
\right)\left(
\begin{array}{c}
x\\y\\1
\end{array}
\right),
\end{equation}
dove $\mathrm M=\left(
\begin{array}{cc}
m_{11} & m_{12}\\
m_{21} & m_{22}
\end{array}
\right)$ è una matrice a coefficienti reali, invertibile;
$\alpha,\beta\in \mathbf R$.\\

La trasformazione inversa è:
\begin{equation}
\label{abeasis1} \left(
\begin{array}{c}
x\\y\\1
\end{array}
\right)= \left(
\begin{tabular}{ccc}
        & \multicolumn{2}{c}{$\gamma$}\\
\raisebox{1.5ex}[0cm][0cm]{$P$}
         &$\delta$                    \\
0\quad\,0&1                  \\
\end{tabular}
\right)\left(
\begin{array}{c}
x'\\y'\\1
\end{array}
\right),
\end{equation}
dove $\mathrm P=\mathrm M^{-1}$.

Ora, tenuto conto che $\left(
\begin{array}{ccc}
x & y & 1 \\
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{ccc}
x'& y' &1
\end{array}
\right)\left(
\begin{tabular}{ccc}
        & \multicolumn{2}{c}{$\gamma$}\\
\raisebox{1.5ex}[0cm][0cm]{$P$}
         &$\delta$                   \\
0\quad\,0&1                  \\
\end{tabular}
 \right)^t,$ sostituendo (\ref{abeasis1}) in (\ref{conicamatr}),
otteniamo:
\begin{equation}
\label{ptap} \left(
\begin{array}{ccc}
x' & y' & 1
\end{array}
\right) \left(
\begin{tabular}{ccc}
        & \multicolumn{2}{c}{$\gamma$}\\
\raisebox{1.5ex}[0cm][0cm]{$P$}
         &$\delta$                   \\
0\quad\,0&1                  \\
\end{tabular}
 \right)^t A
\left(
\begin{tabular}{ccc}
        & \multicolumn{2}{c}{$\gamma$}\\
\raisebox{1.5ex}[0cm][0cm]{$P$}
         &$\delta$                   \\
0\quad\,0&1                  \\
\end{tabular}
 \right)
 \left(
\begin{array}{c}
x'\\y'\\1
\end{array}
\right)=0.
\end{equation}
Se eseguiamo il prodotto tra le matrici otteniamo: \vspace{3mm}
$$
\left(
\begin{array}{ccc}
x' & y' & 1
\end{array}
\right) \left(
\begin{tabular}{ccc}
        & \multicolumn{2}{c}{0}\\
\raisebox{1.5ex}[0cm][0cm]{$P^t$}
         &0                    \\
$\gamma$\quad\, $\delta$&1      \\
\end{tabular}
 \right)
 \left(
 \begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{12} & a_{22} & a_{23}\\
a_{13} & a_{23} & a_{33}
\end{array}
\right) \left(
\begin{tabular}{ccc}
        & \multicolumn{2}{c}{$\gamma$}\\
\raisebox{1.5ex}[0cm][0cm]{$P$}
           &$\delta$     \\
0\quad\, 0 & 1            \\
\end{tabular}
 \right)
 \left(
\begin{array}{c}
x'\\y'\\1
\end{array}
\right)=
$$
\vspace{3mm}
$$
=\left(
\begin{array}{ccc}
x' & y' & 1
\end{array}
\right) \left(
\begin{tabular}{ccc}
        & \multicolumn{2}{c}{0}\\
\raisebox{1.5ex}[0cm][0cm]{$P^t$}
         &0                    \\
$\gamma$\quad\, $\delta$ &1       \\
\end{tabular}
 \right)
 \left(
 \begin{tabular}{ccc}
        & \multicolumn{2}{c}{$a_{13}$}\\
\raisebox{1.5ex}[0cm][0cm]{$A_0$}
         &$a_{23}$                    \\
$a_{13}$\quad$a_{23}$&$a_{33}$
\end{tabular}
\right) \left(
\begin{tabular}{ccc}
        & \multicolumn{2}{c}{$\gamma$}\\
\raisebox{1.5ex}[0cm][0cm]{$P$}
         &$\delta$                    \\
0\quad\,0&1
\end{tabular}
 \right)
 \left(
\begin{array}{c}
x'\\y'\\1
\end{array}
\right)=
$$
\vspace{3mm}
\begin{equation}
\label{pta0p} =\left(
\begin{array}{ccc}
x' & y' & 1
\end{array}
\right) \left(
\begin{tabular}{ccc}
        & \multicolumn{2}{c}{$b_{13}$}\\
\raisebox{1.5ex}[0cm][0cm]{$P^tA_0P$}
         &$b_{23}$                    \\
$b_{13}$\quad\,$b_{23}$ & $b_{33}$   \\
\end{tabular}
 \right)
 \left(
\begin{array}{c}
x'\\y'\\1
\end{array}
\right)=0. \vspace{3mm}
\end{equation}
\vspace{2mm} Dalla (\ref{ptap}) si vede che: con la trasformazione
(\ref{sostituzione}) dalla matrice $\mathrm A$ associata al
polinomio (\ref{conicagen}) abbiamo ottenuto una nuova matrice
$\mathrm B=\mathrm{\widetilde{P}}^t\mathrm
A\mathrm{\widetilde{P}}$ \textit{congruente} ad $\mathrm A$, con
$\widetilde{P}=\left(
\begin{tabular}{ccc}
        & \multicolumn{2}{c}{$\gamma$}\\
\raisebox{1.5ex}[0cm][0cm]{$P$}
         &$\delta$          \\
0\quad\,0&1                 \\
\end{tabular}
\right)$.\vspace{2mm} Inoltre dalla (\ref{pta0p}) abbiamo ottenuto
una matrice $\mathrm B_0=\mathrm{P}^t\mathrm A_0\mathrm{P}$
\textit{congruente} ad $\mathrm A_0$ \vspace{1cm}.

Abbiamo ora informazioni sufficienti per dare una prima
classificazione delle coniche. Dalla (\ref{ptap}) si vede che
$\mathrm B$ e $\mathrm A$ hanno lo stesso rango (perchè
$\widetilde{P}$ invertibile), quindi \textit{il rango di $\mathrm
A$ è una proprietà affine della conica $\mathcal C$}, che
chiameremo \textit{il rango di $\mathcal C$}, e si denota con
$r(\mathcal C)$.
\begin{defin}
La conica $\mathcal C$ è
\begin{itemize}
\item \textit{non degenere}\qquad se $r(\mathcal C)=3$
\item \textit{degenere}\qquad \qquad se $r(\mathcal C)<3$
\begin{itemize}
\item \textit{semplicemente degenere}\qquad se $r(\mathcal C)=2$
\item \textit{doppiamente degenere}\qquad \,\,\,\,\,se $r(\mathcal C)=1.$
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{defin}

Dalla (\ref{pta0p}) si vede anche che $\mathrm A_0$ e $\mathrm
B_0$ hanno lo stesso rango e quindi \textit{il rango di $\mathrm
A_0$ è una proprietà affine di $\mathcal C$.} Inoltre poichè
$det(\mathrm P)=det(\mathrm {P^t})$ , per il teorema di Binet
risulta $det (\mathrm B_0)=det(\mathrm {P^tA_0P})=det(\mathrm
{P^t})det(\mathrm A_0)det(\mathrm P)$ e quindi la formula
(\ref{pta0p}) implica che il segno di $det(\mathrm A_0)$ è lo
stesso di quello di $det(\mathrm B_0)$, e quindi anche
$det(\mathrm A_0)>0$ e $det(\mathrm A_0)<0$ \textit{sono proprietà
affini di $\mathcal
C$.} \vspace{6mm}\\

Diamo ora il procedimento generale di riduzione a forma canonica
affine e metrica di una conica.
Procederemo in diversi passi.\vspace{4mm}\\

PASSO I.\vspace{2mm}\\
Il teorema spettrale ci assicura, che data una matrice $\mathrm A$
simmetrica reale, che definisce sia una forma quadratica che un
endomorfismo diagonalizzabile, esiste una matrice diagonalizzabile
$\mathrm M$ tale $\mathrm M^{-1}\mathrm A\mathrm M=\mathrm
M^t\mathrm A\mathrm M$ è diagonale. Quindi è possibile trovare una
matrice $\mathrm M_0$ ortogonale tale che la trasformazione
lineare:
\begin{equation}
\label{passo1sost} \left(
\begin{array}{c}
x\\y
\end{array}
\right)=\mathrm M_0 \left(
\begin{array}{c}
x'\\y'
\end{array}
\right)
\end{equation}
riduca la forma quadratica (\ref{formaquadratica}) nella forma
$q(x',y')=\lambda_{1}(x')^2+\lambda_2(y')^2$ dove $\lambda_1$ e
$\lambda_2$ non sono simultaneamente nulli. La matrice associata
alla forma è
$$
\mathrm M_0^tA_0M_0= \left(
\begin{array}{cc}
\lambda_1 & 0\\
0 & \lambda_2
\end{array}
\right),
$$
$\lambda_1$ e $\lambda_2$ autovalori di $\mathrm{A_0}$.
Secondo quanto visto in (\ref{passo1sost}) possiamo scrivere anche
\begin{equation}
 \left(
\begin{array}{c}
x\\y\\1
\end{array}
\right)=\left(
\begin{tabular}{ccc}
        & \multicolumn{2}{c}{0}\\
\raisebox{1.5ex}[0cm][0cm]{$\mathrm M_0$}
         & 0                    \\
0\quad\,0 & 1   \\
\end{tabular}
 \right)
 \left(
\begin{array}{c}
x'\\y'\\1
\end{array}
\right)
\end{equation}
che applicata in (\ref{conicamatr}) ci da:
$$
\left(
\begin{array}{ccc}
x' & y' & 1
\end{array}
\right) \left(
\begin{tabular}{ccc}
        & \multicolumn{2}{c}{$b_{13}$}\\
\raisebox{1.5ex}[0cm][0cm]{$M_0^tA_0M_0$}
         &$b_{23}$                    \\
$b_{13}$\quad\,$b_{23}$ & $b_{33}$   \\
\end{tabular}
 \right)
 \left(
\begin{array}{c}
x'\\y'\\1
\end{array}
\right)=
$$
\begin{equation}
\label{passo1}
=\lambda_1(x')^2+\lambda_2(y')^2+2b_{13}x'+2b_{23}y'+b_{33}=0.
\vspace{4mm}
\end{equation}

PASSO II \vspace{2mm}\\
Consideriamo la seguente traslazione
$$
\left\{
\begin{array}{c}
x'=X-a\\
y'=Y-b
\end{array}
\right.
$$
ed applichiamola alla (\ref{passo1}). Avremo allora:
\begin{equation}
\label{passo2}
\lambda_1X^2+\lambda_2Y^2+2(b_{13}-\lambda_1a)X+2(b_{23}-\lambda_2b)Y+d=0
\end{equation}
dove:
\begin{equation}
\label{passo2bis}
d=\lambda_1a^2+\lambda_2b^2-2b_{13}a-2b_{23}b+b_{33}.
\end{equation}
Distinguiamo ora tre casi:
\begin{itemize}
\item Se $\lambda_1$ e $\lambda_2$ entrambi diversi da zero, possiamo prendere
$a=\displaystyle\frac{b_{13}}{\lambda_1}$,\\
$b=\displaystyle\frac{b_{23}}{\lambda_2}$, e avremo l'equazione:
\begin{equation}
\label{ellisse} \lambda_1X^2+\lambda_2Y^2+c=0
\end{equation}
dove $c$ è ottenuto sostituendo $a$ e $b$ nella (\ref{passo2bis}).
\item Se $\lambda_2=0$ ($\lambda_1\neq 0$), possiamo prendere
$a=\displaystyle\frac{b_{13}}{\lambda_1}$ e sostituirlo in
(\ref{passo2}). Il coefficiente della X allora si annullerà e
dalla (\ref{passo2bis}) avremo che\\
$d=-\displaystyle\frac{b^2_{13}}{\lambda_1}-2b_{23}b+b_{33}$. Ora:
\begin{itemize}
\item Se $b_{23}\neq 0$ prendiamo $b$ in modo che d=0 e
otteniamo:
\begin{equation}
\label{parabola} \lambda_1X^2+2b_{23}Y=0
\end{equation}
\item Se $b_{23}=0$, d non dipende da b e quindi
possiamo prendere $b=0$ e la (\ref{passo2}) diventa:
\begin{equation}
\label{degenere} \lambda_1X^2+d=0
\end{equation}
\end{itemize}
\item Se $\lambda_1=0$ e $\lambda_2\neq 0$ basta scambiare X con Y e si
procederà allo stesso modo.
\end{itemize}
Abbiamo ora un numero sufficiente di informazioni per una
classificazione metrica e affine delle coniche.\vspace{3mm}

\begin{teo}
Ogni conica $\mathcal C$ di $\mathbf E^2(\mathbf R)$ è congruente
a una delle seguenti:
$$
\begin{array}{ll}
\displaystyle\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1\qquad  (a\geq b>0)\qquad & \qquad \textit{ellisse}\\
\,               &  \, \\
\displaystyle\frac{X^2}{a^2}-\frac{Y^2}{b^2}=1\qquad  (a>0, b>0)  \qquad & \qquad \textit{iperbole}\\
\,               &  \, \\
\displaystyle\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=-1\qquad (a\geq b>0)\qquad & \qquad \textit{ellisse immaginaria}\\
\,               &  \, \\
Y^2-a^2X^2=0\qquad  (a\geq b>0)  \qquad & \qquad \textit{coppia di rette reali incidenti in un punto}\\
\,               &  \, \\
Y^2+a^2X^2=0\qquad  (a\geq b>0)\qquad & \qquad \textit{coppia di rette complesse e coniugate}\\
\,                          \qquad & \qquad              \textit{incidenti in un punto}\\
\,               &  \, \\
Y^2-2pX=0 \qquad  (p>0)  \qquad & \qquad \textit{parabola}\\
\,              &  \,\\
X^2-a^2=0 \qquad \,\,\,\, (a>0) & \qquad \textit{coppia di rette parallele e distinte}\\
\,               &  \, \\
X^2+a^2=0 \qquad \,\,\,\, (a>0)  \qquad &  \qquad \textit{coppia di rette complesse e coniugate}\\
\,               &  \, \\
X^2=0     \qquad & \qquad \textit{coppia di rette reali  coincidenti}\\
\end{array}
$$
\textit{Dimostrazione}\\
Consideriamo l'equazione (\ref{ellisse}).

Se $c\neq 0,$ dividiamo(\ref{ellisse}) per c ed abbiamo
$\displaystyle\frac{\lambda_1}{c}X^2+\frac{\lambda_2}{c}Y^2+1=0$.
Poniamo ora $\displaystyle\frac{1}{a^2}=\frac{\lambda_1}{c}$,
$\displaystyle\frac{1}{b^2}=\frac{\lambda_2}{c}$ e distinguiamo
tre casi:
\begin{itemize}
\item Se $\displaystyle\frac{\lambda_1}{c}$ e $\displaystyle\frac{\lambda_2}{c}$ sono entrambi negativi
si ottiene $\displaystyle\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}-1=0$ che
è l'equazione canonica di un ellisse.
\item Se $\displaystyle\frac{\lambda_1}{c}$ e $\displaystyle\frac{\lambda_2}{c}$
sono di segno opposto si ottiene
$\displaystyle\frac{X^2}{a^2}-\frac{Y^2}{b^2}-1=0$ che è
l'equazione canonica di un iperbole.
\item Se $\displaystyle\frac{\lambda_1}{c}$ e $\displaystyle\frac{\lambda_2}{c}$
sono positivi si ottiene l'equazione
$\displaystyle\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}+1=0$.\\
Esplicitiamo ora la X, scriviamo cioè $\displaystyle X=\pm
a\sqrt{-1-\frac{Y^2}{b^2}}$, si vede subito che per ogni $Y\in
\mathbf R$, sostituito sotto il segno di radice, otteniamo valori
per X che sono complessi (cioè $X\in \mathbf C$). Stesso risultato
otteniamo se esplicitiamo la Y e vi sostituiamo poi un qualsiasi
valore di X reale. Quindi tale equazione non si rappresenta nel
piano reale, $\mathbf R^2$. I punti che rappresentano l'equazione
trovata sono punti che appartengono al
campo complesso.\\
Da qui il nome di ellisse a punti non reali o ellisse immaginaria.
\end{itemize}

Se $c=0$ si ha l'equazione
$\displaystyle\frac{\lambda_1}{\lambda_2}X^2+Y^2=0.$ Poniamo ora
$\displaystyle a^2=\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ e distinguiamo due
casi:
\begin{itemize}
\item Se $\lambda_1$ e $\lambda_2$ hanno segno opposto la (\ref{ellisse}) diventa $Y^2-a^2X^2=0$.
Se fattorizziamo tale equazione otteniamo $(Y+aX)(Y-aX)=0$; la
conica quindi è data dall'unione delle rette di equazione $Y=\pm
aX$. Abbiamo così l'equazione di due rette reali incidenti in
punto.




\item se $\lambda_1$ e $\lambda_2$ hanno lo stesso segno abbiamo invece
$Y^2+a^2X^2=0$ che ammette una sola soluzione reale, per $X=Y=0$.
Tale polinomio infatti non è riducibile in $\mathbf R$ e può
essere fattorizzato nel prodotto di due polinomi di primo grado
nel campo complesso $(Y+iaX)(Y-iaX)=0$; la conica quindi è data
dall'unione di due rette di equazione $Y=\pm iaX$.\\
L'equazione rappresenta una coppia di rette complesse coniugate
incidenti in un punto reale, l'origine degli assi.\\
\end{itemize}

Per quanto riguarda l'equazione (\ref{parabola}) è sufficiente
porre $\displaystyle p=-\frac{a'_{23}}{\lambda_1}$ e si ha
l'equazione canonica di una parabola. \vspace{5mm}

Resta soltanto l'equazione (\ref{degenere})
\begin{itemize}
\item Se $d=0$ si ottiene l'equazione $X^2=0$, cioè una
retta contata due volte. Se $X=0$ rappresenta l'asse Y,
l'equazione $X^2=0$ rappresenta l'asse $Y$ con molteplicità $2$.



\item Se $d\neq 0$ ($\lambda_1\neq 0$), prendiamo
$\displaystyle a^2=\frac{d}{\lambda_1}$.
\begin{itemize}
\item Se $\displaystyle\frac{d}{\lambda_1}<0$ allora $X^2-a^2=0$.
Se fattorizziamo questo polinomio nel prodotto di due polinomi di
primo grado otteniamo $(X+a)(X-a)=0$. La conica è data dall'unione
di due rette parallele all'asse delle Y che intersecano l'asse
delle X rispettivamente nei punti $a, -a$.\\
La conica rappresenta l'equazione canonica di due rette parallele
e distinte.




\item Se $\displaystyle\frac{d}{\lambda_1}>0$ si ottiene
$X^2+a^2=0$. Tale polinomio non ha radici reali ma in $\mathbf C$,
esse sono $X=\pm ia$ per cui si fattorizza come $(X+ia)(X-ia)=0$.
La conica quindi è data dall'unione di una coppia di rette
complesse e coniugate parallele e distinte.
\end{itemize}
\end{itemize}
\end{teo}
\begin{teo}
Ogni conica $\mathcal C$ di $\mathbf A^2(\mathbf R)$ è affinemente
equivalente a una delle seguenti:
$$
\begin{array}{ll}
X^2+Y^2-1=0\qquad  \qquad & \qquad \textit{ellisse}\\
\,               &  \, \\
X^2-Y^2-1=0\qquad  \qquad & \qquad \textit{iperbole}\\
\,               &  \, \\
X^2+Y^2+1=0\quad \qquad & \qquad \textit{ellisse immaginaria}\\
\,               &  \, \\
Y^2-X^2=0\qquad   \qquad & \qquad \textit{coppia di rette reali incidenti in un punto}\\
\,               &  \, \\
Y^2+X^2=0\qquad  \qquad & \qquad \textit{coppia di rette complesse e coniugate}\\
\,                          \qquad & \qquad              \textit{incidenti in un punto}\\
\,               &  \, \\
X^2-Y=0 \qquad   \qquad & \qquad \textit{parabola}\\
\,              &  \,\\
X^2-1=0 \qquad \,\,\,\, & \qquad \textit{coppia di rette parallele e distinte}\\
\,               &  \, \\
X^2+1=0 \qquad \,\,\,\,  \qquad &  \qquad \textit{coppia di rette complesse e coniugate}\\
\,               &  \, \\
X^2=0     \qquad & \qquad \textit{coppia di rette reali  coincidenti}\\
\end{array}
$$
La dimostrazione è la stessa che nel caso metrico, solo che nel
caso affine possiamo eliminare i parametri a, b, p con ulteriori
cambiamenti di coordinate affini (non ortonormali). Ad esempio:
per l'ellisse reale o immaginaria prendiamo $x=\displaystyle
\frac{1}{a}X$,
$y=\displaystyle\frac{1}{b}Y$;\\
per la parabola prendiamo $x=X$, $y=2pY$;\\
per le coniche degeneri come le rette distinte ed incidenti in un
punto prendiamo $x=aX, y=Y$;\\
per le coppie di rette parallele prendiamo
$x=\displaystyle\frac{1}{a}X, y=Y$.
\end{teo}
\begin{oss}
Come si vede dal teorema le possibili forme canoniche affini per una
conica sono solo nove, quindi sono in numero finito. Ogni conica è
affinemente equivalente ad una di queste nove. La situazione è diversa
nel caso euclideo; ognuna delle nove forme canoniche euclidee elencate
nel teorema 1 (eccetto l'ultima) da luogo a infinite coniche non
congruenti tra loro, dipende a seconda della scelta dei coefficienti
che compaiono nell'equazione. Esistono perciò infinite classi
di congruenza diverse di coniche euclidee.
\end{oss}

\section[Classificare una conica senza ridurla a forma canonica]{Classificare una conica senza ridurla a forma canonica}

Abbiamo visto fino ad ora che data una conica $\mathcal C$ in
forma generale \`e possibile tramite una successione di
cambiamenti di coordinate ridurla ad una forma molto pi\`u
semplice, la forma canonica.\\
Vogliamo ora mostrare come è possibile riconoscere di che tipo di
conica si tratta senza calcolare i cambiamenti di coordinate.
Notiamo subito che:
\begin{itemize}
\item se $lx^2+my^2=c$ \`e la forma canonica di  $\mathcal C$, con
$l, m\neq 0$ autovalori di $A_0$, allora $detA=-lmc=-det{A_0}c$,
quindi $c=-\displaystyle\frac{detA}{lm}$.
\item se $my^2=2cx$ \`e una forma canonica per $\mathcal C$,
allora $detA_0=0$, con $0, m$ autovalori di $A_0$.\\
$detA=-mc^2$, quindi $c^2=-\displaystyle\frac{det A}{m}$ cioè
$c=\displaystyle\sqrt{-\frac{det A}{m}}$. Il segno di $c$ è
indifferente poichè se per esempio si è scelto $c>0$ basta fare un
cambiamento di coordinate $X=-x, Y=y$ per ottenere $mY^2=-2cX$
cioè $-c$.
\end{itemize}


Facciamo alcuni esempi:
\begin{ese}
Sia $\mathcal C:x^2+8x-6xy-4y+1$\\
$$
\mathrm A=\left(
\begin{array}{rrr}
 1 & -3 & 4\\
-3 &  0 & -2\\
 4 & -2 & 1
\end{array}
\right).
$$
$det(A)=37\neq 0$, non degenere.\\
$det(A_0)=lm=-9<0$. Quindi i due autovalori hanno segno discorde,
inoltre $c=-\displaystyle\frac{detA}{lm}>0$.
La rappresentazione della forma canonica sarà quindi del tipo:\\
$lx^2-my^2=c$ che è l'equazione di un'iperbole. Per trovare la forma
canonica euclidea basta calcolare gli autovalori $l, m$ e il
coefficiente $c$
\end{ese}
\begin{ese}
Sia $\mathcal C:3x^2+2xy+3y^2+2x-2y$\\
$$
\mathrm A=\left(
\begin{array}{rrr}
 3 & 1 & 1\\
 1 & 3 & -1\\
 1 & -1 & 0
\end{array}
\right).
$$
$det(A)=-8\neq 0$, non degenere.\\
$det(A_0)=lm=8>0$.Gli autovalori di $A_0$ sono $4$ e $2$, e
$c=1$. Perciò l'equazione della conica è $4x^2+2y^2=1$, e si tratta di
un ellisse reale.

\end{ese}
\begin{ese}
Sia $\mathcal C:x^2-2xy+y^2-2x-4y+6$\\
$$
\mathrm A=\left(
\begin{array}{rrr}
 1 & -1 & -1\\
 -1 & 1 & -2\\
 -1 & -2 & 6
\end{array}
\right).
$$
$det(A)=-9\neq 0$, non degenere.\\
$det(A_0)=lm=0$, troviamone gli autovalori.\\
$p_{A_0}(\lambda)=(1-\lambda)^2-1=\lambda(\lambda-2)$, un
autovalore quindi è nullo. Riassumendo, la conica in questione è
non degenere e $A_0$ ha un autovalore nullo, allora è una
parabola.
\end{ese}
\begin{ese}
Sia $\mathcal C:2x^2-3xy-2y^2+2x+y=0$\\
$$
\mathrm A=\left(
\begin{array}{rrr}
 2 & -\displaystyle\frac{3}{2} & 1
\vspace{2mm}\\
 -\displaystyle\frac{3}{2} & -2 & \displaystyle\frac{1}{2}\\
 1 & \displaystyle\frac{1}{2} & 0
\end{array}
\right).
$$
$det(A)=0$, degenere.\\
$det(A_0)=-\displaystyle\frac{25}{4}=lm<0$, quindi: i due
autovalori sono non nulli e hanno segno discorde, $r(A_0)=r(A)=2$. Si
vede dalla lista del teorema 1 che la forma canonica sarà di questo tipo:\\
$lx^2-my^2=0$, che rappresenta l'unione di due rette incidenti in un punto.
\end{ese}
\begin{oss}
Se gli autovalori di $A_0$ fossero stati di segno concorde avremmo
avuto l'equazione di due rette immaginarie incidenti in un punto
cioè la forma canonica di $\mathcal C$ sarebbe stata
$lx^2+my^2=0$.
\end{oss}
\begin{ese}
Sia $\mathcal C:x^2+2xy+y^2-3x-3y+2=0$\\
$$
\mathrm A=\left(
\begin{array}{rcr}
 1 & 1 &-\displaystyle\frac{3}{2}
\vspace{2mm}\\
1 & 1 & -\displaystyle\frac{3}{2}\\
-\displaystyle\frac{3}{2}& -\displaystyle\frac{3}{2} & 2
\end{array}
\right).
$$
$det(A)=0$, degenere.\\
$det(A_0)=lm=0$, quindi un autovalore è nullo, troviamo l'altro.\\
$p_{A_0}(\lambda)=(1-\lambda)^2-1=\lambda(\lambda-2)$, quindi gli
autovalori sono 0, 2. Il $r(A)$ potrebbe essere $1$ oppure
$2$. Per sciogliere questo dubbio calcoliamoci il polinomio
caratteristico di $A$ e utilizziamo la \textit{regola di
Cartesio}.\\
$p_{A}(\lambda)=(1-\lambda)^2(2-\lambda)-2=-\lambda(\lambda^2+4\lambda-5)$;
il polinomio dentro le parentesi ha radici non nulle in più ha una
variazione di segno; per la regola di Cartesio quindi le sue
radici sono una positiva l'altra negativa. Riassumendo, la conica
in questione è degenere e $A_0$ ha un autovalore nullo, mentre $A$ ha
rango 2 e
ha due autovalori di segno discorde; allora la matrice che
rappresenta tale conica è del tipo $ \mathrm A=\left(
\begin{array}{rcc}
 0 & 0 & 0 \\
 0 & 1 & 0\\
 0 & 0 & -a^2
\end{array}
\right)$, che rappresenta la conica di equazione canonica $y^2-c=0$ cioè
due rette parallele.
\end{ese}
\begin{oss}
Se gli autovalori di $A$ fossero stati di segno concorde avremmo
avuto $y^2+c=0$ che è l'equazione di due rette complesse e
coniugate.
\end{oss}
\begin{prop}[Regola di Cartesio]
Sia $p(\lambda)=a_0\lambda^3+a_1\lambda^2+a_2\lambda+a_3$ un
polinomio di grado 3 a coefficienti reali e tale che le sue radici
siano tutte reali. Se scriviamo la successione ordinata dei
coefficienti non nulli di $p(\lambda)$ e ne consideriamo le
variazioni dei segni, allora il numero delle variazioni e uguale
al numero delle radici positive di $p(\lambda)$.
\end{prop}
\begin{ese}
Consideriamo $p(\lambda)=-\lambda^3+4\lambda^2+\lambda-1$. La
successione dei coefficienti presenta due variazioni di segno,
allora $p(\lambda)$ ha due radici positive.
\end{ese}
\begin{ese}
Sia $\mathcal C:4x^2+8xy+4y^2=0$\\
$$
\mathrm A=\left(
\begin{array}{rrr}
 4 & 4 & 0\\
 4 & 4 & 0\\
 0 & 0 & 0
\end{array}
\right).
$$
$det(A)=0$, degenere, $r(A)=1$.\\
Due autovalori nulli. In questo caso la forma canonica sarà di questo tipo:\\
$x^2=0$ che rappresenta una retta doppia.
\end{ese}

\section[Esercizi]{Esercizi}

\subsection*{Riduzione a forma canonica di una conica}

In $\mathbf R^2$, data la curva di equazione
$3x^2+4xy+3y^2+16x-16y+7=0$, determinare una trasformazione di
coordinate ortonormali che la riduca ad una forma canonica,
dire inoltre di che tipo di conica si tratta.\\
\textbf{Soluzione}: Poniamo $q(x,y)=3x^2+4xy+3y^2$, forma
quadratica che ha come matrice
$$
\mathcal A_0= \left(
\begin{array}{cc}
3 & 2\\
2 & 3
\end{array}
\right).
$$
Il suo polinomio caratteristico è
$p(\lambda)=\lambda^2-6\lambda+5$, gli autovalori sono
$\lambda_1=1, \lambda_2=5$.

Adesso $\mathcal A_0-\mathcal I=\left(
\begin{array}{cc}
 2 & 2\\
 2 & 2
\end{array}
\right)$.

Una soluzione del sistema $(\mathcal A_0-\mathcal I)X=0$
($X\in\mathbf R^2$) è  il vettore \\ $(1,-1)\in V_{1}$ che
normalizzato è $v_1=\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}(1,-1)$.
Sfruttiamo il fatto che $V_5=V_{1}^\bot$, poi normalizziamo,
allora $v_2=\displaystyle\frac{1}{\sqrt2}(1,1)$.

$V=\{v_1, v_2\}$ rappresenta una base ortonormale di autovettori
di $\mathbf R^2$,
$$
\mathcal P=\displaystyle\frac{1}{\sqrt2} \left(
\begin{array}{rr}
1 &1\\
-1 & 1
\end{array}
\right).
$$ Quindi $\left(
\begin{array}{c}
 x\\
 y
\end{array}
\right)=\mathcal P \left(
\begin{array}{c}
 X \\
 Y
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{c}
\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}X+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}Y \vspace{2mm}\\
-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}X+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}Y
\end{array}
\right)$ è la trasformazione in coordinate ortonormali da cui si
ottiene:


$$
X^2+5Y^2+16(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}X+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}Y)
-16(-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}X+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}Y)+7=0,
$$
semplificando,
$$
X^2+5Y^2+\displaystyle\frac{32}{\sqrt{2}}X+7=0.
$$

Facciamo ora la traslazione
$$
\left \{
\begin{array}{cc}
X=x-\alpha\\
Y=y-\beta
\end{array}
\right.
$$
e svolgiamo i calcoli.

Allora
$$
x^2+5y^2-(2\alpha-\displaystyle\frac{32}{\sqrt{2}})x-10\beta
y+\alpha^2+5\beta^2-\displaystyle\frac{32}{\sqrt{2}}\alpha+7=0.
$$
Poniamo ora
$$
\left \{
\begin{array}{cc}
\alpha=\displaystyle\frac{16}{\sqrt{2}}\\
\beta=0
\end{array}
\right.
$$
da cui si ottiene:
$$
x^2+5y^2-121=0,
$$
che rappresenta l'equazione canonica di un ellisse.


\chapter[Classificazione delle coniche proiettive]{Classificazione
delle coniche proiettive}

Sia $\mathrm P^2(\mathbf R)$ il piano proiettivo su $\mathbf R$.\\
Ricordiamo che i punti e le rette di  $\mathrm P^2$ sono gli
stessi di quelli di $\mathrm A^2_{\infty}$, dove $\mathrm
A^2_{\infty}$ rappresenta $\mathrm A^2$ completato con l'aggiunta
della retta impropria (\textit{completamento proiettivo del piano
affine}).

L'equazione di una conica $\mathcal C$ del piano $\mathrm A^2$ in
\textit{coordinate omogenee} si può quindi scrivere nel modo
seguente:
\begin{equation}
\label{conproiett}
a_{11}x_1^2+2a_{12}x_1x_2+a_{22}x_2^2+2a_{01}x_0x_1+2a_{02}x_0x_2+a_{33}x_0^2=0,
\end{equation}
con gli $a_{ij}\in \mathbf R$ non tutti nulli.

La conica scritta in coordinate omogenee come in
(\ref{conproiett}) rappresenta una conica in $\mathrm P^2$.

La matrice
$$
\mathrm A=\left(
\begin{array}{ccc}
a_{00} & a_{01} & a_{02}\\
a_{10} & a_{11} & a_{12}\\
a_{20} & a_{21} & a_{22}
\end{array}
\right)
$$
è una matrice simmetrica ottenuta ponendo $a_{21}=a_{12}$,
$a_{13}=a_{31}$, $a_{23}=a_{32}$. Tale matrice ci permette di
rappresentare la conica (\ref{conproiett}) mediante l'equazione
\begin{equation}
\label{xax}\textbf{x}^t\mathrm A\textbf{x}=0,
\end{equation}
dove \textbf{x}=$\left( \begin{array}{c}
x_0\\
x_1\\
x_2
\end{array} \right)$ è il vettore delle indeterminate.

Sia ora $\mathrm M$ una matrice $(3\times3)$ a coefficienti in
$\mathbf R$, invertibile. Se prendiamo il vettore $\mathrm
M\textbf{x}$ e lo sostituiamo ad \textbf{x} nella
(\ref{conproiett}), oppure nella (\ref{xax}) otteniamo una nuova
equazione e cioè:
$$
\textbf x^t\mathrm M^t\mathrm A\mathrm M\textbf x=0,
$$
da cui
\begin{equation}
\label{xbx} \textbf x^t\mathrm B\textbf x=0,
\end{equation}
dove $\mathrm B=\mathrm M^t\mathrm A\mathrm M$.

Diamo ora la seguente definizione:
\begin{defin}
Sia $\mathcal C$ una curva di $\mathbf P^2(\mathbf R)$. Una curva
$\mathcal D$ si dice proiettivamente equivalente a $\mathcal C$ se
esiste una proiettività T tale che $\mathcal C=T(\mathcal D)$.
\end{defin}
In base alla definizione precedente abbiamo che la conica
$\mathcal D$ con equazione $\textbf x^t\mathrm B\textbf x=0$ è
\textit{proiettivamente equivalente} alla conica $\mathcal C$ di
equazione $^t\textbf x\mathrm A\textbf x=0$.\\ Ogni conica
\textit{proiettivamente equivalente} a $\mathcal C$ si ottiene
tramite una qualsiasi matrice $\mathrm M$ invertibile a
coefficienti reali.

Da $\mathrm B=\mathrm M^t\mathrm A\mathrm M$ si deduce che
$\mathrm A$ e $\mathrm B$ sono matrici congruenti. Inoltre
$\mathrm A$ e $\mathrm B$ hanno lo stesso rango, perchè $\mathrm
M$ è invertibile e, per il teorema di Binet, $det(\mathrm
B)=det(\mathrm M^t\mathrm A\mathrm M)=det(\mathrm M^t)det(\mathrm
A)det(\mathrm M)$, allora
$$
det(\mathrm A)=0 \Longleftrightarrow det(\mathrm B)=0.
$$

Il rango di $\mathrm A$ quindi è \textit{una proprietà proiettiva
della conica }$\mathcal C$, e si scrive $r(\mathcal C)$. In
particolare l'\textit{annullarsi o meno di} $det(\mathrm A)=0$
\textit{è una proprietà proiettiva di} $\mathcal C$.

Per definizione almeno uno dei coefficienti ($a_{ij}$) è diverso
da zero, questo ci dice che il rango di $\mathcal C$ non è mai
nullo e vale:
$$
1\leq r(\mathcal C)\leq 3.
$$

\begin{defin}
La conica $\mathcal C$ \`e:
\begin{itemize}
\item \textit{non degenere} se
$det(\mathrm A)\neq0$.
\item \textit{degenere} se $det(\mathrm A)=0$;\\
inoltre se $r(\mathcal C)=2$ la conica è \textit{semplicemente
degenere}, se $r(\mathcal C)=1$ la conica è \textit{doppiamente
degenere}.
\end{itemize}
\end{defin}
Diamo ora un teorema di classificazione delle coniche in $\mathrm
P^2$.
\begin{teo}
Ogni conica $\mathcal C$ di $\mathrm P^2(\mathbf R)$ è
proiettivamente equivalente a una delle seguenti:
$$
\begin{array}{ll}
x_0^2+x_1^2-x_2^2=0 \qquad & \qquad \textit{conica generale}\\
\,               &  \, \\
x_0^2+x_1^2+x_2^2=0 \qquad & \qquad \textit{conica generale a punti non reali}\\
\,               &  \, \\
x_0^2-x_1^2=0  \qquad & \qquad \textit{conica semplicemente degenere}\\
\,               &  \, \\
x_0^2+x_1^2=0  \qquad & \qquad \textit{conica semplicemente degenere}\\
\,               &  \, \\
x_0^2=0   \qquad & \qquad \textit{conica doppiamente degenere}\\
\end{array}
$$
e queste cinque coniche sono a due a due non proiettivamente
equivalenti.

Tali equazioni vengono chiamate \textsc{forme
canoniche}.\vspace{1mm}\\
\textit{Dimostrazione}\\
Sia $(k, l)$ la segnatura di $\mathrm A$, matrice che rappresenta
la conica nella forma (\ref{xax}). $r(\mathrm A)=k+l$.\\
Possiamo assumere $k>l$.\\
Poichè $1\leq r(\mathrm A)\leq 3$ andiamo a distinguere ciascun
caso.\vspace{2mm}\\
$r(\mathrm A)=3$.\\
\begin{itemize}
\item La segnatura è $(3,0)$, in un opportuno sistema di
riferimento l'equazione diventa $y_0^2+y_1^2+y_2^2=0$. Tale
equazione non ha soluzioni in $\mathrm P^2(\mathbf R)$ e
rappresenta una conica generale a punti non reali.
\item La segnatura è $(2,1)$, l'equazione diventa
$y_0^2+y_1^2-y_2^2=0$, che è l'equazione di una conica generale.
\end{itemize}
\vspace{2mm}
$r(\mathrm A)=2$.\\
\begin{itemize}
\item La segnatura è $(2,0)$, l'equazione diventa
$y_0^2+y_1^2=0$.Conica semplicemente degenere. Poichè
$y_0^2+y_1^2=(y_0+iy_1)(y_0-iy_1)=0$ si dice che la conica è
l'unione di due rette complesse e coniugate.
\item La segnatura è $(1,1)$, l'equazione diventa
$y_0^2-y_1^2=0$. Conica semplicemente degenere. Poichè
$y_0^2-y_1^2=(y_0+y_1)(y_0-y_1)=0$ si dice che la conica è unione
di due rette distinte.
\end{itemize}
\vspace{2mm}
$r(\mathrm A)=1$.\\
\begin{itemize}
\item La segnatura è $(1,0)$ e l'equazione diventa $y_0^2=0$,
ossia una retta doppia.
\end{itemize}
\end{teo}
\begin{oss}
Consideriamo la seguente ellisse scritta in coordinate affini:
$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$. Essa ha come
matrice $\mathrm A=\left( \begin{array}{ccc}
\displaystyle\frac{1}{a^2} & 0 & 0\\
 0 & \displaystyle\frac{1}{b^2} & 0\\
 0 & 0 & -1
\end{array}
\right).$ In coordinate proiettive l'equazione diventa
$\displaystyle\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{x_1^2}{b^2}-x_2^2=0$. Nelle
coordinate $y_0=\displaystyle\frac{x_0}{a},
y_1=\displaystyle\frac{x_1}{b}, y_2=x_2$ l'equazione è
$$
y_0^2+y_1^2-y_2^2=0.
$$
Se consideriamo l'iperbole
$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ in coordinate
proiettive sarà
$\displaystyle\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{x_1^2}{b^2}-x_2^2=0$. Nelle
coordinate $y_0=\displaystyle\frac{x_0}{a},
y_1=-\displaystyle\frac{x_1}{b}, y_2=x_2$ l'equazione è
$$
y_0^2+y_1^2-y_2^2=0.
$$
Se consideriamo infine la parabola $y=x^2$. La sua matrice è
$\mathrm A=\left( \begin{array}{ccc}
0 & 0 &\displaystyle\frac{1}{2} \\
 0 & -1 & 0\\
 \displaystyle\frac{1}{2} & 0 & 0
\end{array}
\right).$ La conica proiettiva è $x_0x_2-x_1^2=0$. La segnatura è
$(1,2)$, cambiando di segno abbiamo $x_1^2-x_0x_2=0$ con segnatura
$(2,1)$. Si vede subito che tale equazione rappresenta una forma
quadratica che è possibile diagonalizzare. In coordinate
opportune, quindi  $x_1^2-x_0x_2=0$ diventa
$$
y_0^2+y_1^2-y_2^2=0.
$$
Riassumendo possiamo dire che ellisse, parabola, iperbole sono
coniche affini corrispondenti alla stessa conica proiettiva,
quella che abbiamo chiamato conica generale.

Allo stesso modo si dimostra che due rette affini incidenti o
rette parallele corrispondono sempre alla stessa conica proiettiva
$y_0^2-y_1^2=0$.
\end{oss}
\begin{oss}
Nel piano $\mathrm P^2$ intersechiamo una conica $\mathcal C$ con
la \textit{retta impropria} (o \textit{retta all'infinito}) di
equazione $x_0=0$.\\
Consideriamo un'ellisse E di equazione
$-x_0^2+\displaystyle\frac{x_1^2}{a_1^2}+\displaystyle\frac{x_2^2}{a_2^2}=0$.\\
$$
E\cap(x_0=0)= \left\{(x_0;x_1;x_2)| x_0=0,
\displaystyle\frac{x_1^2}{a_1^2}+\displaystyle\frac{x_2^2}{a_2^2}=0
\right\}=\emptyset.
$$
Quindi non vi sono intersezioni con la retta all'infinito.

Consideriamo un'iperbole I di equazione
$-x_0^2+\displaystyle\frac{x_1^2}{a_1^2}-\displaystyle\frac{x_2^2}{a_2^2}=0$.
$$
I\cap(x_0=0)=\left\{(x_0;x_1;x_2)| x_0=0,
\displaystyle\frac{x_1^2}{a_1^2}-\displaystyle\frac{x_2^2}{a_2^2}=0
\right\}=
$$
$$
=\left\{(x_0;x_1;x_2)| x_0=0,
\left(\displaystyle\frac{x_1}{a_1}+\displaystyle\frac{x_2}{a_2}\right)
\left(\displaystyle\frac{x_1}{a_1}-\displaystyle\frac{x_2}{a_2}
\right)=0\right\}=
$$
$$
=\left\{(0;x_1;x_2)|
 \displaystyle\frac{x_1}{a_1}-\displaystyle\frac{x_2}{a_2}=0
\right\}\cup\left\{(0;x_1;x_2)|
 \displaystyle\frac{x_1}{a_1}+\displaystyle\frac{x_2}{a_2}=0
\right\}.
$$
I punti di intersezione con la retta all'infinito sono quindi:
$$
(0;a_1;a_2), (0;a_1;-a_2).
$$
In quanto $ a_1, a_2 \neq 0$ abbiamo che i due punti trovati non
coincidono. Allora la retta impropria interseca un'iperbole in due
punti distinti che sono i punti all'infinito delle rette
$\left(\displaystyle\frac{x_1}{a_1}+\displaystyle\frac{x_2}{a_2}\right)=0$,
e $\left(\displaystyle\frac{x_1}{a_1}-\displaystyle\frac{x_2}{a_2}
\right)=0$, cioè dei suoi due asintoti.

Consideriamo una parabola P di equazione $x_1^2-x_0x_2=0$.\\
$$
P\cap(x_0=0)\left\{(x_0;x_1;x_2)| x_0=0,
x_1^2=0\right\}=\left\{(0;0;1)\right\},
$$ quindi le due soluzioni sono
 coincidenti. La parabola è tangente alla retta all'infinito
nel punto $(0;0;1)$.


\end{oss}

\begin{thebibliography}{6}

\bibitem{b1}A.VISTOLI\\
            Appunti delle lezioni di Geometria II, Bologna,
            A.A.$1995-1996$
\bibitem{b2}S. ABEASIS \\
            Complementi di algebra lineare e geometria, Zanichelli, Bologna,
            $1993$
\bibitem{b3}E.SERNESI \\
            Geometria 1, Bollati Biringhieri, Torino, $1989$
\bibitem{b4}S.GRECO, P.VALABREGA \\
            Lezioni di geometria\\
            Volume 2: geometria analitica e differenziale,
            Levrotto $ \&$ Bella, Torino, $1999$
\bibitem{b5}A. BELTRAMI\\
            Volume 1: Lezioni di analisi matematica e geometria
            analitica, Kappa, Roma, $1987$
\bibitem{b6}C. B. BOYER\\
            Storia della matematica, Mondadori, Milano, $1990$
\end{thebibliography}

 \end{document}
