Equazione polare della Parabola.

Consideriamo una parabola di fuoco $F$, direttrice $d$ ed un punto $P(x,y)$ sulla parabola.
Fissiamo ora un sistema di riferimento $(O,x,y)$ ortonormale in modo che:
- $O\equiv F$, cioè l'origine degli assi coincida con il fuoco.
- l'asse $x$ sia orientato da $O$ verso $d$.
Adesso prendiamo $p>0$ la distanza tra l'origine $O$ e il punto di intersezione tra la direttrice d con l'asse $x$, $\rho$ la lunghezza del vettore $\overrightarrow{OP}$, $\theta$ l'angolo che $\overrightarrow{OP}$ forma con l'asse $x$. Per costruzione quindi $d(P,F)=\rho$ e $d(P,p)=p-\rho\cos\theta.$ Se prima sostituiamo a $$\frac{d(P,F)}{d(P,d)}=e$$ ed esplicitiamo poi $\rho$ si ottiene:

$$\rho=\displaystyle\frac{ep}{1+e\cos\theta}\\ p>0$$

Poichè $e=1$, allora

 

$$\rho=\displaystyle\frac{p}{1+\cos\theta}\\ p>0.$$

Tale equazione si chiama equazione polare della parabola.