Dimostrazione
Per dimostrare tale risultato consideriamo la figura seguente e supponiamo che in F vi sia una sorgente luminosa di cui uno dei raggi sia incidente in P. Prendiamo ora la retta passante per $F'$ e P. Supponiamo ora (lo dimostreremo poi) che la bisettrice dell'angolo $\widehat{F'PF}$ coincide con la retta tangente all'iperbole nel punto $P$. Sia ora B un punto qualsiasi della bisettrice dell'angolo $\widehat{F'PF}$ e $\overline{FG}$ sia perpendicolare a $\overline{BP}$. Prendiamo ora, la retta passante per P e perpendicolare a $\overline{BP}$, N punto interno al ramo di iperbole sulla retta per P . Segue che $\overline{NP}$ e $\overline{GF}$ sono rette parallele ed il triangolo GPF è isoscele, di conseguenza, gli angoli in $\widehat{G}$ ed in $\widehat{F}$ di tale triangolo sono uguali. D'altronde l'angolo $\widehat{F}$ è uguale all'angolo di incidenza $\widehat{APN}$ essendo questi angoli alterni interni, e l'angolo $\widehat{G}$ è uguale all'angolo in $\widehat{P}$, essendo questi angoli corrispondenti. Pertanto l'angolo di incidenza $\widehat{APN}$ è uguale all'angolo $\widehat{NPF}$. Da questo risultato e dalla legge di riflessione della luce concludiamo che quest'ultimo angolo è proprio l'angolo di riflessione. Abbiamo quindi dimostrato che il raggio riflesso passa per una traiettoria uscente dall'altro fuoco.

Figura: La legge di riflessione dice che gli angoli $\widehat{APN}$ e l'angolo $\widehat{NPF}$ sono uguali
\includegraphics[width=9cm,height=7.5cm]{i-geom_ott}

Per dimostrare che la bisettrice $\overline{BP}$ è allo stesso tempo la tangente all'iperbole nel punto P basta vedere che, con riferimento sempre alla figura seguente, $\overline{BF'}<\overline{BG}+\overline{GF'}$, quindi $\overline{BF'}-\overline{BF}<\overline{BG}+\overline{GF'}-\overline{BF}$, poichè $\overline{BG}=\overline{BF}$ (GBF triangolo isoscele), allora $\overline{BF'}-\overline{BF}<\overline{GF'}= \overline{PF'}-\overline{PG}=\overline{PF'}-\overline{PF}=2a$. Questo mi dice che il punto B è esterno al ramo di iperbole passante per P; cioè la bisettrice $\overline{BP}$ incontra l'iperbole soltanto nel punto P che è appunto la retta tangente all'iperbole nel punto P.