Rappresentazione parametrica dell'iperbole.

L'iperbole $\mathcal{C}:\displaystyle\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ si può rappresentare parametricamente così:

$$\mathcal{C}: \left\{ \begin{array}{rcl} x=a\cosh t\\ y=b\sinh t & (t\in\mathcal{R}) \end{array} \right.$$

Infatti le funzioni seno iperbolico e coseno iperbolico sono definite da:

$$\displaystyle\cosh t=\frac{(e^{t}+e^{-t})}{2}, \, \, \displaystyle\sinh t=\frac{(e^{t}-e^{-t})}{2}$$

dove $t$ è un parametro reale. Poichè si ha che

$$\cosh^{2}t-\sinh^{2}t=1$$

ponendo

$$\cosh^{2}t=\frac{x^{2}}{a^{2}}, \, \, \, \sinh^{2}t=\frac{y^{2}}{b^{2}}$$

si vede che l'iperbole ammette tale rappresentazione parametrica.
Un'altra rappresentazione è la seguente:

$$\mathcal{C}= \left \{ \begin{array}{rl} \displaystyle x=... ...le y=b\frac{2t}{1-t^{2}} & (t\neq \pm1) \end{array} \right.$$

Da quest'ultima rappresentazione l'iperbole, come nel caso dell'ellisse, è detta essere una curva razionale.