Dimostrazione

Dimostriamolo, ad esempio, per il fuoco $F=(c,0)$ e la direttrice $\displaystyle x=\frac{a}{e}$. Per un punto $P(x,y)$ la condizione č che

\begin{displaymath} \frac{d(P,F)}{d(P,d)}=e \end{displaymath}

cioč
\begin{displaymath} \frac{\sqrt{(x-c)^{2}+y^{2}}}{ \displaystyle\vert\frac{a}{e}-x\vert}=e \end{displaymath}

\begin{displaymath} (x-c)^{2}+y^{2}=(a-ex)^{2} \end{displaymath}

\begin{displaymath} x^{2}(1-e^{2})+y^{2}=a^{2}-c^{2}+2cx-2eax \end{displaymath}

\begin{displaymath} x^{2}(1-e^{2})+y^{2}=2(c-ea)x+a^{2}-c^{2} \end{displaymath}

ponendo $\displaystyle e=\frac{c}{a}$, $b^{2}=c^{2}-a^{2}$, otteniamo l'equazione canonica di un'iperbole.