Regione in cui si trova la curva.

Intersechiamo l'iperbole con le rette parallele agli assi coordinati e con quelle passanti per l'origine:

• sia $x=t$ una retta parallela all'asse $y$
  sostituendo tale valore a $\mathcal{C}$ si ha: $y^{2}-\displaystyle(\frac{t^{2}}{a^{2}}-1)b^{2}=0$ con $t, a, b \in \mathbf{R}$. Al variare di t avremo soluzioni diverse. Infatti:
  • se $t>a$ opp. $t<-a$, la retta $x=t$ interseca la conica in due punti distinti;
    
  • se $t=\pm a$, interseca $\mathcal{C}$ in due punti coincidenti;
    
  • se $-a<t<a$, interseca $\mathcal{C}$ in due punti complessi e coniugati. Quindi non ci sono intersezioni nel piano euclideo.
• sia $y=t$ una retta parallela all'asse $x$
  sostituendo in $\mathcal{C}$ si ha: $x^{2}-\displaystyle(1+\frac{t^{2}}{b^{2}})a^{2}=0 \; con \; t, a, b \in \mathbf{R}$. Questo ci dice che qualunque sia $t$ si hanno sempre radici reali e la retta $y=t$ interseca l'iperbole in due punti reali e distinti.
• sia $y=mx$ una retta per l'origine
  abbiamo sempre sostituendo in $\mathcal{C}$: $x^{2}\displaystyle(\frac{1}{a^{2}}-\frac{m^{2}}{b^{2}})=1$ quindi:
  • se $$-\frac{b}{a}< m < \frac{b}{a}$$,
    la retta $y=mx$ taglia $\mathcal{C}$ in due punti distinti
  • se $$m>\frac{b}{a}$$ oppure $$m<-\frac{b}{a}$$,
    interseca $\mathcal{C}$ in due punti complessi e coniugati, quindi non la interseca nel piano euclideo.
  • se $$m=\pm\frac{b}{a}$$.
    nessuna intersezione, nemmeno complessa, (vedremo più avanti che queste rette sono asintoti)

Figura: La regione delimitata dalle rette è la regione in cui si svolge il grafico.

 

I punti $A=(-a,0) , A'=(a,0)$ sono i punti di intersezione di$\mathcal{C}$ con l'asse $x$. Tali punti si chiamano vertici dell'iperbole. La retta $AA'$ (che è uno degli assi di simmetria) si chiama asse trasverso (o asse focale o asse secante)dell'iperbole .

Osservazione