Esempio 

Verificare che l'equazione $\displaystyle 3x^2-y^2-6x+4y-7=0$ rappresenta un iperbole, e trovarne centro, asintoti e fuochi.
Soluzione: Basta riscrivere l'equazione nel modo seguente (metodo del completamento dei quadrati):

\begin{displaymath} 3(x^{2}-2x+1)-y^{2}+4y-7-3=0 \end{displaymath}

\begin{displaymath} 3(x-1)^{2}-(y^{2}-4y+4)-10+4=0 \end{displaymath}

\begin{displaymath} 3(x-1)^{2}-(y-2)^{2}=6 \end{displaymath}

cioč:
\begin{displaymath} \frac{(x-1)^{2}}{(\sqrt{2})^{2}}-\frac{(y-2)^{2}}{(\sqrt{6})^{2}}=1. \end{displaymath}

La traslazione
\begin{displaymath} \left \{ \begin{array}{l} X=x-1\\ Y=y-2\\ \end{array} \right. \end{displaymath}

trasforma l'equazione nella seguente:
\begin{displaymath} \frac{(X)^{2}}{(\sqrt{2})^{2}}-\frac{(Y)^{2}}{(\sqrt{6})^2}=1. \end{displaymath}

Tale equazione rappresenta un'iperbole.