Dimostrazione dell'osservazione 2

Dimostrazione dell'osservazione 2:

Limitandoci ora alla parte di iperbole contenuta nel primo quadrante avremo:

$\begin{displaymath} \lim_{x \rightarrow +\infty}(\frac{b}{a}\sqrt{x^{2}-a^{2}}... ..._{x \rightarrow +\infty}(\frac{b}{a}(\sqrt{x^{2}-a^{2}}-x))= \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \lim_{x \rightarrow +\infty}(\frac{b}{a} \, \frac{( \sqrt{x^{2}-a^{2}}-x)(\sqrt{x^{2}-a^{2}}+x)}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}+x})= \end{displaymath}$

$\begin{displaymath} \lim_{x \rightarrow +\infty}(\frac{b}{a} \, \frac{(x^{2} -... ..._{x \rightarrow +\infty}(\frac{-ab}{\sqrt{x^{2}-a^{2}}+x})=0 \end{displaymath}$

Lo stesso risultato si otterrebbe per $x\rightarrow -\infty$ per il ramo di curva contenuto nel terzo quadrante, di equazione $\displaystyle y=-\frac{b}{a}\sqrt{x^{2}-a^{2}}$ .
Se consideriamo l'altro asintoto $\displaystyle y=-\frac{b}{a}x$ lo studio andrà fatto sul ramo di curva al secondo e quarto quadrante; si arriverà alle stesse conclusioni.