Le coniche sono curve studiate sin dall'antichità e molti matematici hanno dato il loro contributo allo studio di tali curve. Sembra che per primo Menecmo (375-325 a.C.), un matematico greco maestro di Alessandro Magno, si sia imbattuto nelle coniche nel tentativo di risolvere uno dei tre famosi problemi della matematica greca (i problemi di Delo). Egli stava studiando curve dotate di proprietà adatte alla duplicazione del cubo. Apollonio (262-190 a.C.), conosciuto come il Grande Geometra, consolidò ed approfondì i precedenti risultati sulle coniche nell'opera Le Coniche. Apollonio fu il primo a dimostrare che era possibile ottenere tutte e tre le sezioni coniche intersecando un cono con un piano e facendo poi variare l'inclinazione di tale piano. Fu anche il primo ad attribuire i nomi di ellisse, parabola, ed iperbole.

Successivamente le leggi di Keplero sui movimenti dei pianeti diedero una notevole applicazione delle coniche e delle loro proprietà geometriche. In termini moderni possiamo dire che ogni corpo dotato di massa determina intorno a sé una zona di spazio in cui le altre masse risentono della sua attrazione, un campo gravitazionale. Un corpo che si muove in un campo gravitazionale, può descrivere tre diversi tipi di traiettorie: ellittica, iperbolica o parabolica. Tali traiettorie dipendono dalla velocità iniziale e dalla direzione del corpo. Nel caso di orbite ellittiche si parla di traiettoria chiusa (per es. la terra intorno al sole, la luna intorno la terra). Nel caso di orbite iperboliche e paraboliche si parla di orbite aperte (per es. una cometa intorno al sole).

Figura 1.1: Le coniche descrivono traiettorie possibili di corpi in interazione gravitazionale (per es. il sole e la terra, il sole e una cometa).

 

 

Una equazione del tipo $f(x,y)=0$, dove $f$ è un polinomio di secondo grado a coefficienti reali, definisce una curva piana che si chiama conica. Detta $\mathcal{C}$ tale conica, l'equazione generale si scrive:

$$\alpha x^{2}+\beta y^{2}+\gamma xy+\delta x+\varepsilon y+\varphi=0$$

$$con \; \alpha,\beta,\gamma,\delta,\varepsilon,\varphi \in \mathbf{R}.$$

Scegliendo un opportuno sistema di coordinate cartesiane, l'equazione di una conica si può riscrivere in una delle seguenti forme.

$$ax^{2}+by^{2}=1\ ;$$

$$\hspace{17mm} ax^{2}=2by \quad con \,\,\, a, b\in \mathbf{R}.$$

Una conica la cui equazione sia così scritta si dice in forma canonica; inoltre se i coefficienti sono tutti non nulli si dice non degenere.
Studieremo ora le coniche in forma canonica enunciando, di volta in volta, le principali proprietà geometriche di ciascuna di esse. Inoltre vedremo che possono essere viste come particolari luoghi geometrici.