Soluzione: Poniamo $q(x,y)=3x^2+4xy+3y^2$, forma quadratica che ha come matrice

\begin{displaymath} \mathcal A_0= \left( \begin{array}{cc} 3 & 2\\ 2 & 3 \end{array} \right). \end{displaymath}

Il suo polinomio caratteristico è $p(\lambda)=\lambda^2-6\lambda+5$, gli autovalori sono $\lambda_1=1, \lambda_2=5$. Adesso $\mathcal A_0-\mathcal I=\left( \begin{array}{cc} 2 & 2\\ 2 & 2 \end{array} \right)$. Una soluzione del sistema $(\mathcal A_0-\mathcal I)X=0$ ( $X\in\mathbf R^2$) è il vettore
$(1,-1)\in V_{1}$ che normalizzato è $v_1=\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}(1,-1)$. Sfruttiamo il fatto che $V_5=V_{1}^\bot$, poi normalizziamo, allora $v_2=\displaystyle\frac{1}{\sqrt2}(1,1)$. $V=\{v_1, v_2\}$ rappresenta una base ortonormale di autovettori di $\mathbf R^2$,

\begin{displaymath} \mathcal P=\displaystyle\frac{1}{\sqrt2} \left( \begin{array}{rr} 1 &1\\ -1 & 1 \end{array} \right). \end{displaymath}

Quindi $\left( \begin{array}{c} x\\ y \end{array} \right)=\mathcal P \left( \b... ...style\frac{1}{\sqrt{2}}X+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}Y \end{array} \right)$ è la trasformazione in coordinate ortonormali da cui si ottiene:

\begin{displaymath} X^2+5Y^2+16(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}X+\displaystyle\... ...yle\frac{1}{\sqrt{2}}X+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}Y)+7=0, \end{displaymath}

semplificando,

\begin{displaymath} X^2+5Y^2+\displaystyle\frac{32}{\sqrt{2}}X+7=0. \end{displaymath}

Facciamo ora la traslazione

\begin{displaymath} \left \{ \begin{array}{cc} X=x-\alpha\\ Y=y-\beta \end{array} \right. \end{displaymath}

e svolgiamo i calcoli. Allora

\begin{displaymath} x^2+5y^2-(2\alpha-\displaystyle\frac{32}{\sqrt{2}})x-10\bet... ...\alpha^2+5\beta^2-\displaystyle\frac{32}{\sqrt{2}}\alpha+7=0. \end{displaymath}

Poniamo ora

\begin{displaymath} \left \{ \begin{array}{cc} \alpha=\displaystyle\frac{16}{\sqrt{2}}\\ \beta=0 \end{array} \right. \end{displaymath}

da cui si ottiene:

\begin{displaymath} x^2+5y^2-121=0, \end{displaymath}

che rappresenta l'equazione canonica di un ellisse.
Figura: In verde l'ellisse in forma generale, in rosso l'ellisse i forma canonica
% latex2html id marker 181 \includegraphics[width=9cm,height=14cm]{esercizio3.eps}