\documentclass[a4paper,11pt]{report}
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\newtheorem{prop}{Proposizione}
\newtheorem{defin}{Definizione}
\newtheorem{oss}{Osservazione}
\newtheorem{ese}{Esempio}


\begin{document}
\textbf{Soluzione}: Poniamo $q(x,y)=3x^2+4xy+3y^2$, forma
quadratica che ha come matrice
$$
\mathcal A_0= \left(
\begin{array}{cc}
3 & 2\\
2 & 3
\end{array}
\right).
$$
Il suo polinomio caratteristico è
$p(\lambda)=\lambda^2-6\lambda+5$, gli autovalori sono
$\lambda_1=1, \lambda_2=5$.

Adesso $\mathcal A_0-\mathcal I=\left(
\begin{array}{cc}
 2 & 2\\
 2 & 2
\end{array}
\right)$.

Una soluzione del sistema $(\mathcal A_0-\mathcal I)X=0$
($X\in\mathbf R^2$) è  il vettore \\ $(1,-1)\in V_{1}$ che
normalizzato è $v_1=\displaystyle\frac{1}{\sqrt 2}(1,-1)$.
Sfruttiamo il fatto che $V_5=V_{1}^\bot$, poi normalizziamo,
allora $v_2=\displaystyle\frac{1}{\sqrt2}(1,1)$.

$V=\{v_1, v_2\}$ rappresenta una base ortonormale di autovettori
di $\mathbf R^2$,
$$
\mathcal P=\displaystyle\frac{1}{\sqrt2} \left(
\begin{array}{rr}
1 &1\\
-1 & 1
\end{array}
\right).
$$ Quindi $\left(
\begin{array}{c}
 x\\
 y
\end{array}
\right)=\mathcal P \left(
\begin{array}{c}
 X \\
 Y
\end{array}
\right)=\left(
\begin{array}{c}
\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}X+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}Y \vspace{2mm}\\
-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}X+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}Y
\end{array}
\right)$ è la trasformazione in coordinate ortonormali da cui si
ottiene:


$$
X^2+5Y^2+16(\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}X+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}Y)
-16(-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}X+\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}Y)+7=0,
$$
semplificando,
$$
X^2+5Y^2+\displaystyle\frac{32}{\sqrt{2}}X+7=0.
$$

Facciamo ora la traslazione
$$
\left \{
\begin{array}{cc}
X=x-\alpha\\
Y=y-\beta
\end{array}
\right.
$$
e svolgiamo i calcoli.

Allora
$$
x^2+5y^2-(2\alpha-\displaystyle\frac{32}{\sqrt{2}})x-10\beta
y+\alpha^2+5\beta^2-\displaystyle\frac{32}{\sqrt{2}}\alpha+7=0.
$$
Poniamo ora
$$
\left \{
\begin{array}{cc}
\alpha=\displaystyle\frac{16}{\sqrt{2}}\\
\beta=0
\end{array}
\right.
$$
da cui si ottiene:
$$
x^2+5y^2-121=0,
$$
che rappresenta l'equazione canonica di un ellisse.
\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
   \includegraphics[width=9cm,height=14cm]{esercizio3.eps}
   \caption[Riduzione a forma canonica]{In verde l'ellisse in forma generale,
              in rosso l'ellisse i forma canonica}
\end{center}
\end{figure}
\end{document}
