Riconoscere rapidamente una conica

Date la seguenti coniche scritte in forma generale dire di che tipo di coniche si tratta:

1. $x^2+8y^2-4xy-2=0$

2. $4x^2+32xy+4y^2-16x-y=0$

3. $x^2-2xy+y^2-6x-2y+1=0$

4. $x^2+3xy+2y^2-x-y=0$.



Soluzione

1. $x^2+8y^2-4xy-2=0$

$$\mathrm A=\left( \begin{array}{rrr} 1 & -2 & 0\\ -2 &... ... \begin{array}{rr} 1 & -2\\ -2 & 8 \end{array} \right).$$

$det(A)=-2det(A_0)\neq 0$, non degenere
$det(A_0)=lm=4>0$.
Gli autovaloi di $A_0$ hanno segno concorde e si vede, calcolandoli, che sono entrambi positivi. Inoltre $c=\displaystyle-\frac{detA}{lm}=\frac{5}{2}>0$, allora l'equazione rappresenta un ellisse reale.

2. $4x^2+32xy+4y^2-16x-y=0$
Soluzione

$$\mathrm A=\left( \begin{array}{rrr} 4 & 16 & -8\\ 16 ... ... \begin{array}{cc} 4 & 16\\ 16 & 4 \end{array} \right).$$

$det(A)=-128-1\neq 0$, non degenere,
$det(A_0)=(16-16^2)<0$.
I due autovalori hanno segno discorde, in più $c=\displaystyle-\frac{detA}{lm}=\frac{129}{16-16^2}<0$. Quindi l'equazione che rappresenta la conica in forma canonica è del tipo: $lx^2-my^2=-c$, cioè $my^2-lx^2=c$ che rappresenta l'equazione di un'iperbole.

3. $x^2-2xy+y^2-6x-2y+1=0$
Soluzione

$$\mathrm A=\left( \begin{array}{rrr} 1 & -1 & -3\\ -1 ... ... \begin{array}{rr} 1 & -1\\ -1 & 1 \end{array} \right).$$

$det(A)=-16<0$, non degenere.
$det(A_0)=1-1=lm=0$, quindi almeno un autovalore è nullo.
$p_{A_0}(\lambda)=(1-\lambda)^2-1=\lambda(\lambda-2)$, un autovalore è nullo allora, poichè abbiamo visto che la conica è non degenere, l'equazione rappresenta una parabola.

4. $x^2+3xy+2y^2-x-y=0$

$$\mathrm A=\left( \begin{array}{rrr} 1 & \displaystyle\fr... ...3}{2}\\ \displaystyle\frac{3}{2} & 2 \end{array} \right).$$

$det(A)=\displaystyle\frac{3}{4}-\displaystyle\frac{3}{4}=0$, degenere.
$det(A_0)=2-\displaystyle\frac{9}{4}<0$, due autovalori non nulli che hanno segno discorde, $r(A)=r(A_0)=2$. Si vede , dalla lista del Teorema 1 che la forma canonica sarà del tipo $lx^2-my^2$ che rappresenta l'unione di due rette incidenti in un punto.