\documentclass[a4paper,11pt]{report}
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\newtheorem{prop}{Proposizione}
\newtheorem{defin}{Definizione}
\newtheorem{oss}{Osservazione}
\newtheorem{ese}{Esempio}


\begin{document}
\subsection*{Parabola}

\quad \textbf{1.}\\
Trovare l'equazione della parabola con fuoco $F=(3;0)$, e
direttrice $d=-3$.\\
\textbf{Soluzione}\\
Poich\`e dalla definizione di fuoco sappiamo che
$\displaystyle\frac{p}{2}=3$ abbiamo che l'equazione cercata \`e
$y^2=12x$.\vspace{5mm}

\textbf{2.}\\
Trovare fuoco e direttrice della parabola di equazione $y^2=16x$.\\
\textbf{Soluzione}\\
Dalla definizione di parabola abbiamo che $2p=16$ da cui abbiamo
che il fuoco \`e $F=(4;0)$ e la direttrice \`e $x=-4$.\vspace{5mm}

\textbf{3.}\\
Scrivere l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse
delle y e passante per i punti $P=(0;3), Q=(4;0), T=(6;9)$.\\
\textbf{Soluzione}\\
Data l'equazione della parabola $y=ax^2+bx+c$, imponiamo il
passaggio per i tre punti. Si ottiene quindi il sistema:
$$
\left \{
\begin{array}{lr}
c=3\\
16a+4b+c=0\\
36a+6b+c=9
\end{array}
\right.
$$

Risolvendo il sistema (i calcoli li lasciamo al lettore) otteniamo
che:\\ $a=\displaystyle\frac{7}{8}, b=-\displaystyle\frac{51}{12}$
da cui
$y=\displaystyle\frac{7}{8}x^2-\displaystyle\frac{51}{12}x+3$.\vspace{5mm}

\textbf{4.}\\
Scrivere l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse
delle y e passante per il punto $P=(-1;2)$ e con vertice $V=(-2;3)$.\\
\textbf{Soluzione}\\
Data l'equazione della parabola $y=ax^2+bx+c$, essa ha come
vertice il punto di coordinate
$\left(\displaystyle\frac{b}{2a};\displaystyle\frac{4ac-b^2}{4a}\right)$,
imponiamo inoltre il passaggio per il punto $P$; da qui si ottiene
il seguente sistema:
$$
\left \{
\begin{array}{ll}
a-b+c=2 \vspace{1mm}\\
\displaystyle\frac{b}{2a}=-2 \vspace{2mm}\\
\displaystyle\frac{4ac-b^2}{4a}=3
\end{array}
\right.
$$
Il sistema ha come soluzioni $a=-\displaystyle\frac{1}{9},
b=\displaystyle\frac{4}{9}, c=\displaystyle\frac{23}{9}$.
L'equazione cercata \`e quindi
$y=-\displaystyle\frac{1}{9}x^2+\displaystyle\frac{4}{9}x+\displaystyle\frac{23}{9}$.

\end{document}
