<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\documentclass[a4paper,11pt]{report}
\usepackage[latin1]{inputenc}
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\usepackage{graphicx}

\newtheorem{prop}{Proposizione}
\newtheorem{defin}{Definizione}
\newtheorem{oss}{Osservazione}
\newtheorem{ese}{Esempio}


\begin{document}
\subsection*{Iperbole}

\quad \textbf{1.}\\
Scrivere l'equazione dell'iperbole avente per assi gli assi
coordinati e passante per i punti $P=(2;3)$, $Q=(4;7)$.\\
\textbf{Soluzione}\\
Se imponiamo all'equazione generale dell'iperbole
$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ il passaggio per
i punti $P, Q$ otteniamo
$\displaystyle\frac{4}{a^2}-\frac{9}{b^2}=1$, e
$\displaystyle\frac{16}{a^2}-\frac{49}{b^2}=1$. Poniamo ora
$\displaystyle\frac{1}{a^2}=u, \displaystyle\frac{1}{b^2}=v$ da
cui si ricava il sistema:
$$
\left \{
\begin{array}{ll}
4u-9v=1\\
16u-49v=1
\end{array}
\right.
$$
che ha soluzioni per $u=\displaystyle\frac{10}{13}$,
$v=\displaystyle\frac{3}{13}$. L'equazione cercata \`e quindi\\
$\displaystyle\frac{10x^2}{13}-\frac{3y^2}{13}=1$.\vspace{5mm}

\textbf{2.}\\
Scrivere l'equazione dell'iperbole che ha i vertici in $V=(\pm
3;0)$ e distanza focale (distanza tra i fuochi) uguale a $10$.\\
\textbf{Soluzione}\\
La distanza focale \`e $2c=10$; poich\`e $b^2=c^2-a^2$ allora
$b^2=16$, da cui:
$\displaystyle\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1$.\vspace{5mm}

\textbf{3.}\\
 Scrivere l'equazione dell'iperbole avente per
vertici
$V=(\pm 2;0)$ e fuochi $F=(\pm \sqrt{7};0)$.\\
\textbf{Soluzione}\\
Poich\`e $b^2=c^2-a^2=7-4=3$ abbiamo che l'equazione dell'iperbole
\`e $\displaystyle\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{3}=1$.\vspace{5mm}

\textbf{4.}\\
Scrivere l'equazione dell'iperbole con vertici
$V=(\pm2\sqrt{2};0)$ e
passante per il punto $P=(4;-\sqrt{6})$.\\
\textbf{Soluzione}\\
Poich\`e $a=8$ allora
$\displaystyle\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{b^2}=1$ a cui imponiamo la
condizione di passaggio per il punto e da cui si ottiene $b^2=6$.
Quindi, l'equazione dell'iperbole cercata \`e
$\displaystyle\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{6}=1$.\vspace{9mm}

\textbf{5.}\\
Scrivere l'equazione dell'iperbole con asintoti
$y=\pm\displaystyle\frac{3}{4}x$.\\
\textbf{Soluzione}\\
L'equazione cercata \`e
$\displaystyle\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{9}=1$.


\end{document}
</pre></body></html>