\documentclass[a4paper,11pt]{report}
\usepackage[latin1]{inputenc}
\usepackage[italian]{babel}
\usepackage{graphicx}

\newtheorem{prop}{Proposizione}
\newtheorem{defin}{Definizione}
\newtheorem{oss}{Osservazione}
\newtheorem{ese}{Esempio}


\begin{document}
\section[Esercizi]{Esercizi}

\subsection*{Ellisse}

 \textbf{1.}\\
Scrivere l'equazione dell'ellisse avente per assi gli assi
coordinati e passante per i punti $P=(2;3)$, $Q=(4;-1)$.\\
\textbf{Soluzione}\\
Se imponiamo all'equazione generale dell'ellisse
$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ il passaggio per
i punti $P, Q$ otteniamo
$\displaystyle\frac{4}{a^2}+\frac{9}{b^2}=1$, e
$\displaystyle\frac{16}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$. Poniamo ora
$\displaystyle\frac{1}{a^2}=u, \displaystyle\frac{1}{b^2}=v$ da
cui si ricava il sistema:
$$
\left \{
\begin{array}{rl}
4u+9v=1\\
16u+v=1
\end{array}
\right.
$$
che ha soluzioni per $u=\displaystyle\frac{2}{35}$,
$v=\displaystyle\frac{3}{35}$. L'equazione cercata \`e quindi\\
$\displaystyle\frac{2x^2}{35}+\frac{3y^2}{35}=1$.\vspace{5mm}

\textbf{2.}\\
Scrivere l'equazione dell'ellisse il cui semiasse maggiore \`e
4 e i cui fuochi hanno coordinate $(\pm\sqrt{7};0)$.\\
\textbf{Soluzione}\\
I fuochi sono sull'asse x, dunque $a$ è il semiasse maggiore;
poich\`e $c^2=a^2-b^2$ allora $b=\pm 3$, da cui:
$\displaystyle\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{9}=1$.\vspace{5mm}

\textbf{3.}\\
Scrivere l'equazione dell'ellisse il cui semiasse minore \`e $2$
con eccentricit\`a $\displaystyle e=\frac{1}{\sqrt{5}}$ e fuochi
sull'asse delle $x$.\\
\textbf{Soluzione}\\
Poich\`e $\displaystyle
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{a^2-4}}{a}=\frac{1}{\sqrt{5}}$ allora
$a^2=5$, da cui
$\displaystyle\frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$.\vspace{5mm}

\textbf{4.}\\
Scrivere l'equazione dell'ellisse con eccentricit\`a
$\displaystyle e=\frac{2}{3}$ e semiasse maggiore $a=3$.\\
\textbf{Soluzione}\\
Poich\`e  $\displaystyle
e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{9-b^2}}{3}=\frac{2}{3}$ allora $b^2=5$,
da cui $\displaystyle\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{5}=1$.

\end{document}
